Quotientenvektorräume/ Isomorphiesatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ich habe auch noch eine Frage und zwar zu folgender Aufgabe:
Seien U und V Teilräume eines K-VR W. Man zeige, dass die beiden Quotientenvektorräume (U+V)/U und V/ (U geschnitten V) isomorph sind.
Ich habe weder eine Ahnung wie man anfangen soll, noch wie man den Beweis führt.
Ich weiß aber, dass der Homomorphiesatz bei der Aufgabe recht behilflich sein soll!
Bitte, helft mir, Danke schon mal Cathrine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ich habe den Anfang so gemacht:
Es gibt die Unterräume U,V des K-Vektorraumes W.
Sei dazu f die Einschränkung des kanonischen Epimorphismus von W nach W/U auf V. Dann ist f ein Homomorphismus von V nach (U+V)/U.
Die große Frage ist nun: wie zeigt man Kern(f)=U geschnitten V und Bild(f)=(U+V)/U ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy,
> Seien U und V Teilräume eines K-VR W. Man zeige, dass die
> beiden Quotientenvektorräume (U+V)/U und V/ (U geschnitten
> V) isomorph sind.
> Sei dazu f die Einschränkung des kanonischen Epimorphismus von W nach W/U auf V. Dann ist f ein Homomorphismus von V nach (U+V)/U.
Also, [mm] $f|_V:W\to [/mm] W/U$ ist ein Homomorphismus [mm] $\tilde{f}: V\to(U+V)/U$ [/mm] (dass es ein Homomorphismus ist, müßtest du vielleicht noch zeigen, ist aber nicht schwierig).
Die Abbildung sieht ja so aus: [mm] $v\mapsto [/mm] v+U$ mit [mm] $v\in [/mm] V$ und [mm] $v+U\in [/mm] W/U$
Der Nullvektor von $W/U$ ist $0+U$ (und es ist ja $0+U=u+U$ für alle [mm] $u\in [/mm] U$)
Nun ist also zu überlegen, welche Vektoren aus $V$ durch [mm] $\tilde{f}$ [/mm] auf $0+U$ abgebildet werden. Wegen $0+U=u+U$ sind das gerade alle Vektoren (in $V$), die in $U$ sind, also [mm] $U\cap [/mm] V$.
Deswegen ist schon mal [mm] $\ker \tilde{f}=U\cap [/mm] V$
Bestimmen wir nun das Bild von $V$ unter [mm] $\tilde [/mm] f$, also [mm] $\Bild \tilde f=f|_V(V)$.
[/mm]
Es ist aber doch [mm] $\tilde{f}(V)=\{v+U:v\in V\}=V/U=(V+U)/U$ [/mm] (die letzte Gleichheit halte ich für trivial, würde da gerne eines besseren belehrt werden  )
Also, hoffentlich schaut hier nochmal jemand anderes drüber, ich bin mir wieder mal nicht sicher, ob ich es mir hier nicht zu einfach gemacht habe...
Viele Grüße,
Marc
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