Quotientenring endlichkeit < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:52 Mi 05.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei [mm] $R=\IZ/4\IZ, [/mm] S= R[x], I=(1+2x)S$ Ist $S/I$ endlich? |
Hallo,
Ich vermute dass der Quotientenring endlich ist, weil im Zähler sicher 4 Elemente sind und diese durch die Verschiebung mit dem multiplizierten Polynom im Nenner nicht mehr geteilt werden können!
Allerdings weiss ich nicht wie man diese Elemente explizit berechnet, weil [mm] $\IZ/4\IZ [/mm] [x]$ die Koeffizienten endlich sind aber nicht der Grad des Polynoms beschränkt!
Stimmt und reicht meine Vermutung aus?
Danke für jegliche Hilfestellung!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Mi 05.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei [mm]R=\IZ/4\IZ, S= R[x], I=(1+2x)S[/mm] Ist [mm]S/I[/mm] endlich?
>
>
>
> Ich vermute dass der Quotientenring endlich ist, weil im
> Zähler sicher 4 Elemente sind und diese durch die
> Verschiebung mit dem multiplizierten Polynom im Nenner
> nicht mehr geteilt werden können!
Was soll hier Zaehler und Nenner sein? Sorry, aber die Argumentation ist Quark.
> Allerdings weiss ich nicht wie man diese Elemente explizit
> berechnet, weil [mm]\IZ/4\IZ [x][/mm] die Koeffizienten endlich sind
> aber nicht der Grad des Polynoms beschränkt!
Nun, die Elemente sind von der Form $f(x) + I$, wobei $f(x) [mm] \in [/mm] R[x]$ ein Polynom mit Koeffizienten in [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] ist.
Und zwei solche Elemente $f(x) + I$ und $g(x) + I$ sind gleich, wenn $f(x) - g(x) [mm] \in [/mm] I$ ist, also $f(x) - g(x)$ ein Vielfaches von $2 x + 1$ ist.
Du musst jetzt $2 x + 1$ etwas genauer untersuchen. Ist es vielleicht eine Einheit?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 05.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> Einheit
Also es ist: [mm] $(2x+1)^{2}= [/mm] 1 $ in [mm] $\IZ [/mm] / 4 [mm] \IZ$ [/mm] damit ist es doch eine Einheit??
Dann haben die Elemente die Form [mm] $\tilde{0},\tilde{1},\tilde{x},\widetilde{x+1}$ [/mm] und es gibt 4 Elemente im Quotientenkörper?
> LG Felix
Vielen Dank!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mi 05.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Einheit
>
> Also es ist: [mm](2x+1)^{2}= 1[/mm] in [mm]\IZ / 4 \IZ[/mm] damit ist es doch
> eine Einheit??
Ja.
> Dann haben die Elemente die Form
> [mm]\tilde{0},\tilde{1},\tilde{x},\widetilde{x+1}[/mm] und es gibt 4
> Elemente im Quotientenkörper?
Nein.
(Und bitte nicht das Wort Quotientenkoerper mit Quotientenring verwechseln! Das sind zwei voellig verschiedene Dinge!)
Wenn eine Einheit im Ideal liegt, wie sieht das Ideal dann aus?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 05.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> Wenn eine Einheit im Ideal liegt, wie sieht das Ideal dann aus?
Dann ist das Ideal der ganze Ring...?
> LG Felix
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:16 Do 06.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Wenn eine Einheit im Ideal liegt, wie sieht das Ideal dann
> aus?
>
>
> Dann ist das Ideal der ganze Ring...?
Ja.
Und was bedeutet das fuer $S/I$?
LG Felix
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