Quotientenkriterium anwenden < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Mi 05.03.2008 | | Autor: | PingPong |
Hallo
bin zur Zeit am Prüfung lernen habe noch ca. 3 Wochen und habe noch ein paar Problemchen.. bzw. es gibt ja fast bei jeder Aufgabe nen Muster nur leider weiss ich es nicht mehr!
Ich fange mal an und schreibe meinen Lösungsansatz!
Ich soll folgende Reihen auf Konvergenz überprüfen! Entweder mit dem Qutientenkriterium oder mit dem Leibnizkriterium!
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k!}{2*4*6....2k}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{100hochk}{k!}
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k*(-1)^{k+1}}{k²+1}
[/mm]
Also a und b nehme ich das Q kritierium und bei c das Leibniz.
zu a)
ich lass das summen zeichen etc mal weg
[mm] \bruch{(k+1)!}{2*4*6} [/mm] hier komme ich schon nciht weiter was ich als an und was als an+1 nehmen soll ?
b) [mm] \bruch{100^{k}}{k!}*\bruch{100^{k+1}}{(k+1)!}
[/mm]
SO jetzt kommt ja normal das Mster was man immer machen muss, rauskürzen oder umbauen etc. aber wie gehts das nochmal genau?
c) mit dem Verfahren komme ich garnicht mehr klar... hoffe auf ne Antwort und eventuelle Tips, die man immer anwenden kann...
Grüße
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo
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Hey!
> bin zur Zeit am Prüfung lernen habe noch ca. 3 Wochen und
> habe noch ein paar Problemchen.. bzw. es gibt ja fast bei
> jeder Aufgabe nen Muster nur leider weiss ich es nicht
> mehr!
>
> Ich fange mal an und schreibe meinen Lösungsansatz!
>
> Ich soll folgende Reihen auf Konvergenz überprüfen!
> Entweder mit dem Qutientenkriterium oder mit dem
> Leibnizkriterium!
>
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> a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k!}{2*4*6....2k}[/mm]
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> b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{100hochk}{k!}[/mm]
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> c) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k*(-1)^{k+1}}{k²+1}[/mm]
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> Also a und b nehme ich das Q kritierium und bei c das
> Leibniz.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> zu a)
>
> ich lass das summen zeichen etc mal weg
>
> [mm]\bruch{(k+1)!}{2*4*6}[/mm] hier komme ich schon nciht weiter
> was ich als an und was als an+1 nehmen soll ?
>
Ich würde zunächst einmal den Nenner anders schreiben, es ist ja:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k!}{2*4*6....2k}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k!}{\produkt_{i=1}^{k}2a_i}
[/mm]
Wende nun das Quotientenkriterium an und versuche ein q [mm] \in [/mm] (0,1) zu finden, sodass [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}\le [/mm] q.
> b) [mm]\bruch{100^{k}}{k!}*\bruch{100^{k+1}}{(k+1)!}[/mm]
>
> SO jetzt kommt ja normal das Mster was man immer machen
> muss, rauskürzen oder umbauen etc. aber wie gehts das
> nochmal genau?
Beachte genau wie das QK geht, es ist: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}. [/mm] Also kommst du doch auf:
[mm] \bruch{100^{k+1}}{(k+1)!}*\bruch{k!}{100^k}
[/mm]
Ziehe nun die Potenz und die Fakultät auseinander, dann kannst du kürzen.
>
> c) mit dem Verfahren komme ich garnicht mehr klar... hoffe
> auf ne Antwort und eventuelle Tips, die man immer anwenden
> kann...
>
Wie genau lautet denn die Definition vom Leibnizkriterium?
Du musst dich um das [mm] (-1)^{k+1} [/mm] gar nicht kömmern, sondern nur zeigen, dass der Rest eine monoton fallende Nullfolge ist.
> Grüße
>
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>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 05.03.2008 | | Autor: | PingPong |
HI Patrick
danke erstmal! Mhh das ist genau mein Problem bei b) wie Ziehe ich die sache auseinander? Weil das kommt ja oft vor , und wie kann ich dann kürzen?
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Das geht mit Hilfe der Potenzgesetze und der Definiton der Fakultät. Daher ist:
$ [mm] \bruch{100^{k+1}}{(k+1)!}\cdot{}\bruch{k!}{100^k} [/mm] $
=$ [mm] \bruch{100^{k}*100*k!}{k!*(k+1)*100^k}$
[/mm]
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>Was kann ich jetzt genau kürzen
Hallo,
Patrick hat Dir das doch mundgerecht vorbereitet.
Faktoren, die im Zähler und Nenner vorkommen, kannst Du kürzen.
> wie komme ich
> dann auf den Wert ?
Was meinst Du mit "auf den Wert".
Auf welchen Wert?
Vielleicht hilft es Dir, wenn Du Dir das Quotientenkriterium mal genau aufschreibst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Phecda |
hi hier hab ich mal ein ähnliches problem gehabt um eine explizite darstellung von 2*4*6 etc zu haben.
https://www.vorhilfe.de/read?t=363992
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mi 05.03.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Stimmt, so gehts einfacher. Es ist ja: $k!=1*2*3*4*5*...*(k-1)*k$
Dann kannst du dir ja mal überlegen was sich alles wegkürzt.
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