Quotientenkriterium Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zeigen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass die Reihe konvergiert.
[mm] \summe_{n=1}^{infty} |\bruch{(n^2008)}{(2008^n)}|
[/mm]
Bin jetzt bei der Stelle
[mm] \bruch{(n+1)^2008}{2008 n^2008}
[/mm]
((n+1)^2008)/(2008 n^2008)
Wie stelle ich es am besten dar? Gibt es eine Möglichkeit die n noch etwas schöner herauszuheben?
Die Reihe geht gegen 1/2008
Danke!
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Morgen martin,
> Zeigen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass die
> Reihe konvergiert.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{infty} |\bruch{(n^2008)}{(2008^n)}|[/mm]
>
> Bin jetzt bei der Stelle
>
> [mm]\bruch{(n+1)^2008}{2008 n^2008}[/mm]
>
> ((n+1)^2008)/(2008 n^2008)
>
> Wie stelle ich es am besten dar? Gibt es eine Möglichkeit
> die n noch etwas schöner herauszuheben?
[mm] a_n=\frac{((n+1)^2008)}{(2008 n^2008)}
[/mm]
Bilde einfach den Grenzwert. Du kannst auch zeigen, dass das Teil streng monoton fällt. Ab n=264 ist [mm] a_n<1.
[/mm]
Über den Binomischen Lehrsatz kannst du aber auch begründen - und ist hier meines Erachtens angebracht.
>
> Die Reihe geht gegen 1/2008
Nein, sondern [mm] a_n!!
[/mm]
>
> Danke!
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:44 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richi,
> Morgen martin,
>
> > Zeigen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass die
> > Reihe konvergiert.
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{infty} |\bruch{(n^2008)}{(2008^n)}|[/mm]
> >
> > Bin jetzt bei der Stelle
> >
> > [mm]\bruch{(n+1)^2008}{2008 n^2008}[/mm]
> >
> > ((n+1)^2008)/(2008 n^2008)
> >
> > Wie stelle ich es am besten dar? Gibt es eine Möglichkeit
> > die n noch etwas schöner herauszuheben?
> [mm]a_n=\frac{((n+1)^2008)}{(2008 n^2008)}[/mm]
> Bilde einfach den
> Grenzwert. Du kannst auch zeigen, dass das Teil streng
> monoton fällt. Ab n=264 ist [mm]a_n<1.[/mm]
>
> Über den Binomischen Lehrsatz kannst du aber auch
> begründen - und ist hier meines Erachtens angebracht.
> >
> > Die Reihe geht gegen 1/2008
> Nein, sondern [mm]a_n!![/mm]
ja, aber dann ist zu beachten, dass man hat
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty n^{2008}/2008^n$$
[/mm]
mit [mm] $b_n:=n^{2008}/2008^n$ [/mm] und
[mm] $$a_n:=b_{n+1}/b_n\,.$$ [/mm]
Übrigens hätte man nach dem Quotientenkriterium zu zeigen, dass es ein $0 < q < [mm] 1\,$
[/mm]
so gibt, dass [mm] $|a_n| [/mm] < q$ für alle bis auf endliche viele [mm] $n\,.$ [/mm] Wenn aber [mm] $(|a_n|)_n$
[/mm]
monoton fällt und ab einem gewissen Index [mm] $<1\,$ [/mm] ist, kann man das folgern.
Aber man beachte: Das, was Du mit [mm] $a_n$ [/mm] bezeichnest, sind nicht die Summanden
der Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty n^{2008}/2008^n\,$ [/mm] - sowas könnte verwirren!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:18 Do 27.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Moin Marcel,
Ja, in der Tat gehört [mm] a_n [/mm] nicht zur Reihe, daher hatte ich das auch noch einmal so hingeschrieben. Guter Hinweis noch einmal.
Genau darauf kam es mir an. Wenn man den Grenzwert nicht bilden möchte, so kann man sich auf Sätze der Konvergenz von Folgen berufen ("beschränkt+fallend/steigend=>konvergent").
Was nun einfacher ist, sei dahingestellt.
(Frage: Werden die Latex-Formatierungen bei euch am PC auch nicht angezeigt?)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (Frage: Werden die Latex-Formatierungen bei euch am PC auch
> nicht angezeigt?)
ja, das Problem gab's heute morgen. Am besten beim Webmaster bei
sowas nachfragen!
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe 1 | | [mm] \summe_{n=1}^{infty} |\bruch{(n^2008)}{(2008^n)}| [/mm] |
| Aufgabe 2 | | $ [mm] E[\exp{(iu^{tr}(X_t-X_s)})]=E[\exp{(iu^{tr}(X_{t-s})})]=\frac{E[\exp{(iu^{tr}(X_{t})})]}{E[\exp{(iu^{tr}(X_s)})]} [/mm] $ |
Hallo Richi!
Hallo Marcel!
Danke euch!!! :)
Wie kommst du auf
> Bilde einfach den Grenzwert. Du kannst auch zeigen, dass das Teil streng
> monoton fällt. Ab n=264 ist [mm] a_{n} [/mm] < 1 ???
Wäre es jetzt also falsch, wenn ich jetzt sage: Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, da ihr Grenzwert 1/2008 ist und so mit kleiner als 1. ??
Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir das mit den ( n=264 ist [mm] a_{n} [/mm] < 1) erklären könntet.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{infty} |\bruch{(n^2008)}{(2008^n)}|[/mm]
>
> [mm]E[\exp{(iu^{tr}(X_t-X_s)})]=E[\exp{(iu^{tr}(X_{t-s})})]=\frac{E[\exp{(iu^{tr}(X_{t})})]}{E[\exp{(iu^{tr}(X_s)})]}[/mm]
was steht denn hier?
> Hallo Richi!
> Hallo Marcel!
>
> Danke euch!!! :)
>
> Wie kommst du auf
>
> > Bilde einfach den Grenzwert. Du kannst auch zeigen, dass
> das Teil streng
> > monoton fällt. Ab n=264 ist [mm]a_{n}[/mm] < 1 ???
>
> Wäre es jetzt also falsch, wenn ich jetzt sage: Die Reihe
> konvergiert nach dem Quotientenkriterium, da ihr Grenzwert
> 1/2008 ist und so mit kleiner als 1. ??
na, der Grenzwert der Reihe ist - und sowas dürfen wir nur sagen und
können wir nur hinschreiben, weil wir die Konvergenz der Reihe schon
eingesehen haben (auch, wenn Dir das noch nicht so klar ist) - sicher
NICHT [mm] $1/2008\,.$
[/mm]
Der Grenzwert der Reihe ist nichts anderes als
[mm] $$\lim_{n \to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^{2008}}{2008^k}\,.$$
[/mm]
Setzt Du die Folge [mm] $(b_k)_k$ [/mm] als Folge der (zur obigen Reihe zugehörigen)
Summanden, also
[mm] $$b_k:=k^{2008}/2008^k\,,$$
[/mm]
so hast Du doch
[mm] $$|b_{k+1}/b_k| \to 1/2008\;\;(k \to \infty)$$
[/mm]
erkannt! Und daraus folgt dann die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum b_k\,.$
[/mm]
> Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir das mit den ( n=264
> ist [mm]a_{n}[/mm] < 1) erklären könntet.
Es war doch
[mm] $$a_n:=|b_{n+1}/b_n|=...=(1\;\;+1/n)^{2008}*1/2008\,.$$
[/mm]
Damit ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton fallend gegen [mm] $1/2008\,.$ [/mm] Wenn Du also
irgendein [mm] $n_0$ [/mm] findest, so, dass [mm] $a_{n_0} [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] so folgt schon
[mm] $a_m [/mm] < 1$ für alle $m [mm] \ge n_0\,.$ [/mm] Ein Taschenrechner (oder Computer,
aber Du kannst auch versuchen, das anders nachzurechnen, evtl.
mit geeigneten Abschätzungen) zeigt jedenfalls:
[mm] $$(1\;\;+1/264)^{2008}*1/2008=0.98...< 1\,.$$
[/mm]
Richie hat da auch ein "optimales" [mm] $n_0$ [/mm] angegeben: Das muss man aber
nicht. Ich hätte es sogar rein theoretisch begründet (alles bei $n [mm] \to \infty$):
[/mm]
Wegen $1+1/n [mm] \to [/mm] 1$ folgt [mm] $(1\;\;+1/n)^{2008} \to 1\,,$ [/mm]
(Etwa weil: Da steht eigentlich ein Produkt aus 2008 konvergenten Folgen
- das sind zwar verdammt viele, aber es ist eine feste endliche Anzahl!)
und damit
[mm] $$(1\;\;+1/n)^{2008}*1/2008 \to 1*1/2008=1/2008\,.$$
[/mm]
Zu [mm] $\epsilon=1/2 [/mm] > 0$ existiert also ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] ...
Witzigerweise kann man hier auch was "beklopptes" machen:
Für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] ist die Folge [mm] $((1\;\;+1/n)^k)_{k \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend.
Für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] gilt daher, falls $k [mm] \ge [/mm] 2008$ ist
[mm] $$(1\;\;+1/n)^k \ge (1\;\;+1/n)^{2008}$$
[/mm]
Für alle natürlichen [mm] $n=k\,$ [/mm] mit $n=k [mm] \ge [/mm] 2008$ folgt also
[mm] $$(1\;\;+1/n)^n \ge (1\;\;+1/n)^{2008}$$
[/mm]
Weil [mm] $((1\;\;+1/n)^n)_n$ [/mm] streng monoton wachsend gegen [mm] $e\,$
[/mm]
(mit $0 < e< 3$) strebt, gilt also
[mm] $$(1\;\;+1/n)^{2008}*1/2008 \le (1\;\;+1/n)^n*1/2008 [/mm] < e/2008 < 3/2008$$
für alle $n [mm] \ge 2008\,.$
[/mm]
Das ist zwar irgendwie eine unnötig komplizierte, aber dennoch
funktionierende Abschätzung!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Do 27.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Sehr schöne Zusammenfassung, Marcel. Und auch eine sehr interessante zusätzliche Herangehensweise zur Identifikation der Konvergenz, bes. dem Fakt, dass [mm] a_n<1, n\to\infty.
[/mm]
Beste Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass die
> Reihe konvergiert.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{infty} |\bruch{(n^2008)}{(2008^n)}|[/mm]
>
> Bin jetzt bei der Stelle
>
> [mm]\bruch{(n+1)^2008}{2008 n^2008}[/mm]
>
> ((n+1)^2008)/(2008 n^2008)
>
> Wie stelle ich es am besten dar? Gibt es eine Möglichkeit
> die n noch etwas schöner herauszuheben?
man kann's noch ein wenig sinnvoller hinschreiben (ob das schöner ist, sei
Geschmackssache):
[mm] $$=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2008}*\frac{1}{2008}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2008}*\frac{1}{2008}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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