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| Aufgabe | Untersuchen Sie mit dem Quotientenkriterium auf Kovergenz:
[mm] \bruch{2^n}{n(n+2)} [/mm]? |
Ist meine These richtig?
Limes n gegen unendlich
[mm] \bruch{2^n^+^1}{n+1(n+3)} [/mm] * [mm] \bruch{n(n+2)}{2^n} [/mm]
(Ich habe den Doppelbruch in "multiplizierter" Form geschrieben, da ich leider keinen Doppelbruch hinbekommen habe).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Alles ok. Um das n+1 müssen noch Klammern, aber der Rest passt. Was ist denn dann der Limes für n gegen unendlich?
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| Aufgabe | Ist meine These richtig?
Limes n gegen unendlich
$ [mm] \bruch{2^n^+^1}{(n+1)(n+3)} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{n(n+2)}{2^n} [/mm] $
(Ich habe den Doppelbruch in "multiplizierter" Form geschrieben, da ich leider keinen Doppelbruch hinbekommen habe). |
[mm] 2^n^+^1 [/mm] habe ich geschrieben [mm] 2^n [/mm] * 2 [mm] (2^n [/mm] kann ich dann kürzen; die klammern habe ich ausmultipliziert, so komme ich auf:
[mm] \bruch{2}{n^2+4n+3} [/mm] * [mm] \bruch{n^2+2n}{1} [/mm]
Nun bin ich beim Verfahren etwas verwirrt, weil ich den Satz gehört habe : "Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von n dividieren"
ich habe keine ahnung ob und wann ich das einsetzen muss, oder ob ich das weglassen kann und jetzt einfach n gegen unendlich laufen lasse
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Hi!
> Nun bin ich beim Verfahren etwas verwirrt, weil ich den
> Satz gehört habe : "Zähler und Nenner durch die höchste
> Potenz von n dividieren"
>
> ich habe keine ahnung ob und wann ich das einsetzen muss,
> oder ob ich das weglassen kann und jetzt einfach n gegen
> unendlich laufen lasse
So kann man dort vor gehen. Man erkennt, wenn man die höchste Potenz von Zähler und Nenner ausklammert und einen Grenzwertprozess durchführt eben den Grenzwert.
Klammere also in deinem Fall in Zähler und Nenner [mm] $n^2$ [/mm] aus und führe die Grenzwertbetrachtung durch.
Valerie
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| Aufgabe | | dann hätte ich: (2+ 4/n) / (1+ (4/n) + [mm] (3/n^2)) [/mm] |
somit folgt, dass der Grenzwert = 2 ist.
Aber warum muss ich 1 Schritt davor das ganze ausklammern?
Bzw. wann setzte ich das ein mit ("Zähler und Nenner durch höchste Potenz dividieren").
-> in diesem Fall wäre es ja schwachsinnig, weil wenn ich das einsetze, dann kann ich das wieder kürzen, sozusagen 1 schritt vor und 1 schritt zurück
$ [mm] \bruch{2n^2+4n}{n^2+4n+3} [/mm] $
also wenn in das hier einsetze, seht ihr ja dass es nutzlos ist.
Wer löst nun mit mir das Geheimniss dieser zwei Anwendungen :D
"Höchste Potenz ausklammern" gegen "Nenner und Zähler durch höchste Potenz teilen".
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Do 13.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Nehmen wir mal $ [mm] \bruch{2n^2+4n}{n^2+4n+3} [/mm] $. Eigentlich ist da beides das selbe, du machst einfach Folgendes:
$ [mm] \bruch{2n^2+4n}{n^2+4n+3}=\bruch{n^2(2+\frac{4}{n})}{n^2(1+\frac{4}{n}+\frac{3}{n^2})}=\bruch{2+\frac{4}{n}}{1+\frac{4}{n}+\frac{3}{n^2}}$. [/mm] Daran siehst du, dass der Grenzwert 2 wäre, weil eben alle "Schrott-Terme", so nenne ich die Dinger, die von der Form [mm] \frac{a}{n^k} [/mm] sind, gegen 0 gehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Do 13.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> dann hätte ich: (2+ 4/n) / (1+ (4/n) + [mm](3/n^2))[/mm]
> somit folgt, dass der Grenzwert = 2 ist.
>
> Aber warum muss ich 1 Schritt davor das ganze ausklammern?
>
> Bzw. wann setzte ich das ein mit ("Zähler und Nenner durch
> höchste Potenz dividieren").
> -> in diesem Fall wäre es ja schwachsinnig, weil wenn ich
> das einsetze, dann kann ich das wieder kürzen, sozusagen 1
> schritt vor und 1 schritt zurück
>
>
> [mm]\bruch{2n^2+4n}{n^2+4n+3}[/mm]
>
> also wenn in das hier einsetze, seht ihr ja dass es nutzlos
> ist.
>
>
> Wer löst nun mit mir das Geheimniss dieser zwei
> Anwendungen :D
>
> "Höchste Potenz ausklammern" gegen "Nenner und Zähler
> durch höchste Potenz teilen".
>
nun, wenn Du
[mm] $$\bruch{2n^2+4n}{n^2+4n+3}$$
[/mm]
betrachtest, erkennst Du (als unerfahrener oder ungeübter Mensch)
nicht, ob bzw. gegen was das konvergiert. Im Zähler steht eine Summe
divergenter Folgen, im Nenner auch (wenn ich die Folge konstant 3 in
eine andere mit verbrate jedenfalls)...
Schreibst Du das aber als
[mm] $$\bruch{2+\frac{4}{n}}{1+\frac{4}{n}+\frac{3}{n^2}}\,,$$
[/mm]
so gibt es Rechenregeln für IN [mm] $\IR$ [/mm] KONVERGENTE Folgen, die Du
anwenden kannst:
Die Folge konstant 2 konvergiert gegen 2, die Folge [mm] $(4/n)_n$ [/mm] strebt
gegen 0 (und [mm] $(3/n^2)_n$ [/mm] strebt auch gegen 0 und die Folge konstant
1 strebt gegen 1).
Also strebt der Zähler schonmal alleine insgesamt gegen die Summe
dieser Grenzwerte.
(Welches "Rechengesetz für KONVERGENTE Folgen" ist das, dass ich hier
anwende?)
Analog schaust Du Dir an, was der Nenner macht.
Und dann gibt's auch noch sowas wie:
Wenn [mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ und wenn [mm] $b_n \not=0$ [/mm] UND ZUDEM
$b [mm] \not=0$ [/mm] gilt, dann folgt [mm] $a_n/b_n \to a/b\,.$
[/mm]
Das sind Rechengesetze FÜR KONVERGENTE Folgen - sowas kann man nur
anwenden, wenn man die Voraussetzungen auch überprüft hat.
P.S.
Beachte: Wenn man zwei KONVERGENTE Folgen hat, dann weiß man
was über deren Summenfolge, deren Produktfolge...
Gruß,
Marcel
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