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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 So 02.05.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Quotientenkriterium auf
[mm] exp(1)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}
[/mm]
anwenden. |
Hallo.
Ich glaub, jetzt bin ich schon ganz blöd. In den Prüfungsprotokollen heißt es formulieren Sie das QK und wenden sie es auf [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] an.
Betrachte ich nun
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = ... = [mm] \bruch{1}{k+1} \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Dann wäre ja das QK hier gar nicht anwendbar?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 So 02.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lubalu!
Was stört Dich denn? Der entsprechende Grenzwert des Quotienten ist deutlich kleiner als 1 und damit die Konvergenz gezeigt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 02.05.2010 | | Autor: | lubalu |
> Hallo lubalu!
>
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> Was stört Dich denn? Der entsprechende Grenzwert des
> Quotienten ist deutlich kleiner als 1 und damit die
> Konvergenz gezeigt.
Aber das QK heißt doch [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] q mit 0<q<1. Dann darf doch q in meinem Fall nicht 0 sein, oder nur nicht größer als 1? Bei q=1 kann ich mit dem QK keine Aussage machen, oder? Muss ich ein anderes Krit anwenden.
Ich bin schon ganz verwirrt.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 So 02.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lubalu!
Wenn Du ohne Grenzwert vorgehst und nur den Quotienten betrachtest mit $q \ = \ [mm] \bruch{1}{k+1}$ [/mm] , ist dieser doch auch ungleich Null (und auch kleiner als 1).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 02.05.2010 | | Autor: | lubalu |
Ja, stimmt. Das hab ich verstanden. Bin wohl etwas auf der Leitung gestanden.
Nun noch eine Frage zum Beweis des QK, also warum q<1 wichtig ist.
Aus [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|\leq [/mm] folgt ja
[mm] |a_{n+1}| \le q*|a_n|.
[/mm]
Im nächsten Schritt steht dann:
[mm] |a_n| \le |a_0|*q^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm]
Den Rest versteh ich wieder. Wie kann man das in der mdl. Prüfung schnell erklären, dass [mm] |a_{n+1}| \le q*|a_n| [/mm] => [mm] |a_n| \le |a_0|*q^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN?
[/mm]
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Hallo,
aus
[mm] \limes_{n\to\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|
[mm] a_{n_{0}+1}
[mm] a_{n_0+2}
...
[mm] a_n
Jetzt klar(er)?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 02.05.2010 | | Autor: | lubalu |
Ja, ist mir klar. Aber wieso nimmt man bei meinem Beweis immer [mm] |a_0| [/mm] und nicht [mm] a_{n_0}? [/mm] Oder hat das [mm] a_0 [/mm] eine besondere Bedeutung? Oder könnte man auch [mm] a_N [/mm] nehmen, hauptsache N<n bzw. 0<n?> Hallo,
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Hallo,
das ist doch egal, das ist nur notation.
LG
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