Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 So 03.04.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | | Die Reihe [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert nicht. |
Hallo,
Wende ich aber das Quotentenkriterium [mm] auf\bruch{1}{n} [/mm] an.
[mm] a_n =\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}= \bruch{\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] für alle n aus den natürlichen Zahlen wird der Term kleiner als 1 und somit existiert doch die Reihe oder ?
Also ich mache das zum ersten mal alleine und bin mir nicht sicher, was genau ich in den Term des vereinfachten Quotentenkriterium einsetzen muss, um
zu beweisen das dieser kleiner als 1 ist.
Wenn ich den Limes sup nehme, dann ist es unendlich und ich komme auf
[mm] \bruch{\infty}{\infty+1}, [/mm] daraus lässt sich aber keine Aussage ableiten, oder ?
und beim limes in für n=1 da 1 der kleinste Wert für n ist wegen n aus N
bekomme ich die Aussage [mm] \bruch{1}{1+1}=\bruch{1}{2} [/mm] und limes inf < 1, er müsste aber größer sein um Divergenz zu beweisen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 So 03.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
1/n ist eine Folge, keine Reihe meinst du [mm] \summe_{i=1}^{n}1/i [/mm] für n gegen [mm] \infty
[/mm]
das Quotientenkriterium gilt nus wenn limsup des Quotienten <1 ist nicht [mm] \le [/mm] 1
und n/n+1=1/(1+1/n) hat den GW 1 aber das heisst nur dass man dieses Kriterium nicht benutzen kann.
sieh dir den richtigen Beweis unter harmonische Reihe z.B. in wiki oder an vielen anderen Stellen im Netz
Gruß leduart
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Das Quotientenkriterium besagt nicht, dass der Limes von [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}<1 [/mm] zur Konvergenz reicht, sondern dass der Limes von [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}\le [/mm] c werden muss mit c<1 .
Für jedes c<1 wird aber [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] >c, sobald [mm] n>\bruch{c}{1-c} [/mm] wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mo 04.04.2016 | | Autor: | b.reis |
Hallo
Danke für die Antwort,
aber ich verstehe nicht wie du von $ [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] $ >c, auf $ [mm] n>\bruch{c}{1-c} [/mm] $ kommst ???
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mo 04.04.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo
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> Danke für die Antwort,
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> aber ich verstehe nicht wie du von [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] >c, auf
> [mm]n>\bruch{c}{1-c}[/mm] kommst ???
Multipliziere mit (n+1), danach löse die Klammer auf, subtrahiere nc, und klammere dann passend aus. Dann solltest du den letzten Schritt dann selber sehen.
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>
> Danke
Marius
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