Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Di 18.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Benutzen Sie das Quotientenkriterium und untersuchen Sie die angegebenen Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz!
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^n}{n^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{n!}}{n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2-1}{n^4-2n^2+1} [/mm] |
Hi!
Hab leider bzgl Reihen noch keinen Durchblick!
Aber einmal zum Kriterum:
dieses besagt ja, dass falls [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} \le [/mm] q, wobei q [mm] \in [/mm] (0,1), dann ist die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] absolut konvergent
Aufgabe a)
[mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] #da meine Zahlen ja immer positiv sind5
= [mm] \bruch{2^{n+1}*n^n}{(n+1)^{n+1}*2^n} [/mm] =
= [mm] \bruch{2n^n}{n^{n+1}(1+\bruch{1}{n})^{n+1}} [/mm] #wenn ich richtig umgeformt habe
[mm] =\bruch{2}{n(1+\bruch{1}{n})^{n+1}}...
[/mm]
Ist die Gleichung bis hier her korrekt?
Jetzt müsste ja dann nur noch gelten, dass [mm] n(1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] < 2, damit das geforderte q existiert, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Di 18.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Es gilt:
[mm] \bruch{2^{n+1}*n^n}{2^n*(n+1)^{n+1}}=2*\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=2*\left(\frac{n}{n+1}\right)^n*\frac{1}{n+1}.
[/mm]
Jetzt [mm] $n\$ [/mm] in [mm] (\ldots)^n [/mm] ausklammern.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo,
>
>
> Es gilt:
>
> [mm]\bruch{2^{n+1}*n^n}{2^n*(n+1)^{n+1}}=2*\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=2*\left(\frac{n}{n+1}\right)^n*\frac{1}{n+1}.[/mm]
>
> Jetzt [mm]n\[/mm] in [mm](\ldots)^n[/mm] ausklammern.
na, das meinst Du nicht - eher sowas wie kürzen:
[mm] $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{n}{n}*\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n$
[/mm]
Und jetzt ein bisschen hingucken, eeeeeeeeeeeeeeeeeee bzw. wenn man
weitermacht...
Nebenbei: Man darf auch direkt mit bekannten Bruchrechenregeln rechnen:
[mm] $\frac{n}{n+1}=\frac{1}{\frac{n+1}{n}}=\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$
[/mm]
(Ich habe das "hoch n" hier in der Nebenrechnung nicht mitgeschleppt!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 18.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Das wäre dann ja
[mm] 2\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\frac{1}{n+1} [/mm] = [mm] 2*n(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n*\bruch{1}{1+n}
[/mm]
nun gilt ja, dass [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] kleiner als 1 ist.
Der hintere Teil [mm] \bruch{1}{1+n} [/mm] ist ja auch kleiner als 1!
Aber wie hilft mir das nun, zu meinem q zu kommen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das wäre dann ja
>
> [mm]2\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\frac{1}{n+1}[/mm] =
> [mm]2*\red{n}(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n*\bruch{1}{1+n}[/mm]
das rote [mm] $\red{n}$ [/mm] ist zuviel. Streiche es oder ersetze es durch eine 1.
> nun gilt ja, dass [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm] kleiner als 1
> ist.
>
> Der hintere Teil [mm]\bruch{1}{1+n}[/mm] ist ja auch kleiner als 1!
> Aber wie hilft mir das nun, zu meinem q zu kommen??
Wir sehen nun doch
[mm] $|a_{n+1}|/|a_n| \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] (Ist Dir das klar?),
und wenn
[mm] $|a_{n+1}|/|a_n| \to [/mm] 0$
gilt, dann gilt insbesondere: Zu bspw.
[mm] $\epsilon:=1/2 [/mm] > 0$
existiert ein [mm] $N\,$ [/mm] so, dass
[mm] $\left|\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}-0\right| \le \epsilon=1/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Also? (Nebenbei: Du kannst für [mm] $\epsilon$ [/mm] auch sonst irgendeine Zahl, die positiv und
echt kleiner als 1 ist, wählen, und das [mm] $\epsilon$ [/mm] erfüllt dann "die [mm] $q\,$-Rolle"
[/mm]
[irgendwie musste ich beim Schreiben gerade daran denken, wie sich eine
Kuh auf der Weide überschl....... aber lassen wir das!]).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:48 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Ok, die Folge konvergiert gegen 0, weil
[mm] (\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n} [/mm]
ja aus 2 Faktoren besteht, die jeweils < bzw [mm] \le [/mm] 1 sind, und somit die Folge monoton fällt.
Nach dem Satz des Quotientenkriteriums gilt jetzt ja dann sofort, dass, falls
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] existiert und dieser Limes kleiner als 1 ist (in diesem Fall hier 0) die Reihe [mm] \summe_{n\ge1}a_n [/mm] absolut konvergent ist.
Richtig gelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, die Folge konvergiert gegen 0, weil
>
> [mm](\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n}[/mm]
>
> ja aus 2 Faktoren besteht, die jeweils < bzw [mm]\le[/mm] 1 sind,
> und somit die Folge monoton fällt.
Von welcher Folge sprichst Du ?
>
> Nach dem Satz des Quotientenkriteriums gilt jetzt ja dann
> sofort, dass, falls
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm]
> existiert und dieser Limes kleiner als 1 ist (in diesem
> Fall hier 0)
Es ist richtig, dass die Folge
[mm]((\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n})[/mm]
eine Nullfolge ist. Kannst Du das auch begründen ?
> die Reihe [mm]\summe_{n\ge1}a_n[/mm] absolut konvergent
> ist.
>
> Richtig gelöst?
Ja, nur fehlt die Begründung, von der ich oben sprach.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
> > Ok, die Folge konvergiert gegen 0, weil
> >
> > [mm](\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n}[/mm]
> >
> > ja aus 2 Faktoren besteht, die jeweils < bzw [mm]\le[/mm] 1 sind,
> > und somit die Folge monoton fällt.
>
> Von welcher Folge sprichst Du ?
> >
Von der Folge [mm] a_n: (\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n} [/mm] = [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}
[/mm]
Wie oben erwähnt wird diese Folge ja immer kleiner, weil sie eine Multiplikation von 2 Faktoren ist die jeweils < bzw [mm]\le[/mm] 1 sind!
Da mit zunehmenden n der Nenner beider Faktoren immer größer wird, wird das Produkt immer kleiner. Also strebt die Folge gegen 0!
Reicht das als Begründung?
> > Nach dem Satz des Quotientenkriteriums gilt jetzt ja dann
> > sofort, dass, falls
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm]
> > existiert und dieser Limes kleiner als 1 ist (in diesem
> > Fall hier 0)
>
>
> Es ist richtig, dass die Folge
>
> [mm]((\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n})[/mm]
>
> eine Nullfolge ist. Kannst Du das auch begründen ?
>
>
>
>
> > die Reihe [mm]\summe_{n\ge1}a_n[/mm] absolut konvergent
> > ist.
> >
> > Richtig gelöst?
>
> Ja, nur fehlt die Begründung, von der ich oben sprach.
>
> FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Ok, die Folge konvergiert gegen 0, weil
> > >
> > > [mm](\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n}[/mm]
> > >
> > > ja aus 2 Faktoren besteht, die jeweils < bzw [mm]\le[/mm] 1 sind,
> > > und somit die Folge monoton fällt.
> >
> > Von welcher Folge sprichst Du ?
> > >
>
> Von der Folge [mm]a_n: (\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n}[/mm]
> = [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm]
>
> Wie oben erwähnt wird diese Folge ja immer kleiner, weil
> sie eine Multiplikation von 2 Faktoren ist die jeweils <
> bzw [mm]\le[/mm] 1 sind!
> Da mit zunehmenden n der Nenner beider Faktoren immer
> größer wird, wird das Produkt immer kleiner. Also strebt
> die Folge gegen 0!
>
> Reicht das als Begründung?
Nein. Das ist nur Geschwafel und hat mit Mathematik wenig zu tun !
Klar dürfte sein: [mm] \bruch{2}{1+n} \to [/mm] 0.
Auch die Folge [mm] ((\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n) [/mm] ist konvergent ! Was ist ihr Limes ?
FRED
>
> > > Nach dem Satz des Quotientenkriteriums gilt jetzt ja dann
> > > sofort, dass, falls
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm]
> > > existiert und dieser Limes kleiner als 1 ist (in diesem
> > > Fall hier 0)
> >
> >
> > Es ist richtig, dass die Folge
> >
> > [mm]((\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n})[/mm]
> >
> > eine Nullfolge ist. Kannst Du das auch begründen ?
> >
> >
> >
> >
> > > die Reihe [mm]\summe_{n\ge1}a_n[/mm] absolut konvergent
> > > ist.
> > >
> > > Richtig gelöst?
> >
> > Ja, nur fehlt die Begründung, von der ich oben sprach.
> >
> > FRED
> >
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n} [/mm]
Wenn ich nun die Rechenregeln von Grenzwerten anwende, gilt ja
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 = 1 #limes einer Konstanten
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1+\bruch{1}{n} [/mm] = 1 #da Limes [mm] \bruch{1}{n}=0
[/mm]
[mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}1)^n [/mm] = [mm] 1^n [/mm] = 1
also [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}1} [/mm] = 1
Korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n}[/mm]
>
> Wenn ich nun die Rechenregeln von Grenzwerten anwende, gilt
> ja
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1 = 1 #limes einer Konstanten
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+\bruch{1}{n}[/mm] = 1 #da Limes
> [mm]\bruch{1}{n}=0[/mm]
>
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}1)^n[/mm] = [mm]1^n[/mm] = 1
>
> also
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}1}[/mm]
> = 1
>
> Korrekt?
Nein, absolut nicht ! Das ist ein typischer Anfängerfehler:
in [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] lässt Du zunächst das n in der Klammer gegen [mm] \infty [/mm] gehen, den Exponenten n aber nicht. Das geht natürlich nicht !
Ist Dir denn nicht bekannt , dass [mm] ((1+\bruch{1}{n})^n) [/mm] gegen die Eulersche Zahl $e$ konvergiert ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Oh Maaaaan....
Müsste mir eigentlich bekannt sein ^^
Aber beim rechnen überseh ich ziemlich oft solche Dinge...
Das heißt dann, dass der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}!
[/mm]
Also konvergiert die Folge!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Oh Maaaaan....
>
> Müsste mir eigentlich bekannt sein ^^
> Aber beim rechnen überseh ich ziemlich oft solche
> Dinge...
>
> Das heißt dann, dass der
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{e}![/mm]
> Also konvergiert die Folge!
Bingo !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh Maaaaan....
>
> Müsste mir eigentlich bekannt sein ^^
> Aber beim rechnen überseh ich ziemlich oft solche
> Dinge...
>
> Das heißt dann, dass der
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{e}![/mm]
nur mal eine Notationssache: Wenn man es ausführlich macht, kann man
schreiben
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n}=\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n}=1/e\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}1)^n[/mm] = [mm]1^n[/mm] = 1
sowas solltest Du auch nicht schreiben - wo kommt denn das n
rechterhand her? Und wie kann es linkerhand "limes-losgelöst" stehen,
wenn unter dem Limes $n [mm] \to \infty$ [/mm] steht?
Richtig wäre etwa
[mm] $\lim_{n \to \infty}1^n=\lim_{n \to \infty}1=1\,.$
[/mm]
(Konstante Folgen konvergieren gegen ihren [konstanten] Wert, und die
erste Gleichheit ergibt sich aus der Tatsache, dass für jedes [mm] $n\,$ [/mm] auch
[mm] $1^n=1$ [/mm] gilt!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > Ok, die Folge konvergiert gegen 0, weil
> > > >
> > > > [mm](\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n}[/mm]
> > > >
> > > > ja aus 2 Faktoren besteht, die jeweils < bzw [mm]\le[/mm] 1 sind,
> > > > und somit die Folge monoton fällt.
> > >
> > > Von welcher Folge sprichst Du ?
> > > >
> >
> > Von der Folge [mm]a_n: (\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n\cdot{}\bruch{2}{1+n}[/mm]
> > = [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm]
> >
> > Wie oben erwähnt wird diese Folge ja immer kleiner, weil
> > sie eine Multiplikation von 2 Faktoren ist die jeweils <
> > bzw [mm]\le[/mm] 1 sind!
> > Da mit zunehmenden n der Nenner beider Faktoren immer
> > größer wird, wird das Produkt immer kleiner. Also strebt
> > die Folge gegen 0!
> >
> > Reicht das als Begründung?
>
> Nein. Das ist nur Geschwafel und hat mit Mathematik wenig
> zu tun !
>
> [mm] ($\*$) [/mm] Klar dürfte sein: [mm]\bruch{2}{1+n} \to[/mm] 0.
>
> Auch die Folge [mm]((\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n)[/mm] ist
> konvergent ! Was ist ihr Limes ?
nur nochmal ergänzend: Es reicht hier, neben [mm] ($\*$), [/mm] einzusehen, dass
[mm] $((\tfrac{1}{1+\bruch{1}{n}})^n)_n$
[/mm]
beschränkt ist; denn das Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten
Folge ist wieder eine Nullfolge.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> Es gilt:
>
> [mm]\bruch{2^{n+1}*n^n}{2^n*(n+1)^{n+1}}=2*\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=2*\left(\frac{n}{n+1}\right)^n*\frac{1}{n+1}.[/mm]
>
> Jetzt [mm]n\[/mm] in [mm](\ldots)^n[/mm] ausklammern.
für das QK braucht man das eigentlich nicht - es reicht doch, einzusehen,
dass [mm] $((n/(n+1))^n)_{n \in \IN}$ [/mm] offensichtlich eine beschränkte Folge ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Hier bin ich bis jetzt so weit gekommen:
[mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{(n+1)!}*n}{(n+1)*\wurzel{n!}} [/mm] =
[mm] \bruch{\wurzel{(n+1)}*\wurzel{n!}*n}{(n+1)*\wurzel{n!}} [/mm] =
[mm] \bruch{\wurzel{(n+1)}*n}{(n+1)} [/mm] =
[mm] \bruch{n}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Hier würde ich ja spontan behaupten, dass n schneller wächst als [mm] \wurzel{n+1}, [/mm] also wär die Folge [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] divergent, da sie gegen Unendlich strebt!
Also ist auch die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{n!}}{n} [/mm] divergent (lt Quotientenkriterium)!
Wie kann ich nun zeigen, dass n schneller wächst als [mm] \wurzel{n+1}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hier bin ich bis jetzt so weit gekommen:
>
> [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm] = [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{(n+1)!}*n}{(n+1)*\wurzel{n!}}[/mm] =
>
> [mm]\bruch{\wurzel{(n+1)}*\wurzel{n!}*n}{(n+1)*\wurzel{n!}}[/mm] =
>
> [mm]\bruch{\wurzel{(n+1)}*n}{(n+1)}[/mm] =
>
> [mm]\bruch{n}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> Hier würde ich ja spontan behaupten, dass n schneller
> wächst als [mm]\wurzel{n+1},[/mm] also wär die Folge
> [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm] divergent, da sie gegen Unendlich
> strebt!
Gute Überlegungen !
> Also ist auch die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{n!}}{n}[/mm]
> divergent (lt Quotientenkriterium)!
> Wie kann ich nun zeigen, dass n schneller wächst als
> [mm]\wurzel{n+1}?[/mm]
Z.B. so:
Zeige: [mm] \bruch{n}{\wurzel{n+1}} \ge \bruch{1}{2}\wurzel{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Mi 19.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Die Reihe beginnt hier natürlich auch mit Eins und nicht mit Null.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
durch ausmultiplizieren von [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] komme ich auf folgenden Bruch:
[mm] \bruch{|n^6+2n^5-6n^3+n^2+2n|}{|n^6+4n^5+3n^4-4n^3+n^2-2|}
[/mm]
Nun gilt ja, dass bei solch einem Bruchterm die höchste Potenz wichtig ist (was in diesem Fall die 6 ist) da ich dann ja im Zähler und im Nenner [mm] n^6 [/mm] herausholen kann.
Damit ergibt sich (wenn ich mich beim umformen nicht verrechnet habe) ein Limes von 1.
Dieser ist jedoch im Quotientenkriterium nicht definiert (da hier ja nur Aussagen getroffen werden können, wenn der Limes kleiner oder größer als 1 ist). Wie gehe ich hier nun weiter vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> durch ausmultiplizieren von [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}[/mm] komme
> ich auf folgenden Bruch:
>
> [mm]\bruch{|n^6+2n^5-6n^3+n^2+2n|}{|n^6+4n^5+3n^4-4n^3+n^2-2|}[/mm]
Bist Du jetzt bei c), also bei $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2-1}{n^4-2n^2+1} [/mm] $ ?
Wenn ja, so ist obiges völlig falsch. Was hast Du da gerechnet ?
In [mm] \bruch{n^2-1}{n^4-2n^2+1} [/mm] wird der Nenner 0, wenn n=1 ist !
Die Reihe lautet wohl so:
$ [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n^2-1}{n^4-2n^2+1} [/mm] $
Wegen [mm] n^4-2n^2+1=(n^2-1)^2 [/mm] haben wir es also mit folgender Reihe zu tun:
$ [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2-1} [/mm] $
FRED
>
> Nun gilt ja, dass bei solch einem Bruchterm die höchste
> Potenz wichtig ist (was in diesem Fall die 6 ist) da ich
> dann ja im Zähler und im Nenner [mm]n^6[/mm] herausholen kann.
>
> Damit ergibt sich (wenn ich mich beim umformen nicht
> verrechnet habe) ein Limes von 1.
> Dieser ist jedoch im Quotientenkriterium nicht definiert
> (da hier ja nur Aussagen getroffen werden können, wenn der
> Limes kleiner oder größer als 1 ist). Wie gehe ich hier
> nun weiter vor?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Das Quotientenkriterium überprüfe ich ja trotzdem mit der Folge, die die Reihe bestimmt (sagt ma so dazu?)
Ich habe nur den Bruch für das Quotientenkriterium gebildet und, wie gesagt, ausmultipliziert!
Hab es jetzt mal mit deiner Folge versucht, sie in das Quotientenkriterium einzusetzen, und komme auch auf einen Limeas von a_an = 1!
Also kann ich (allein mit dem Quotientenkriterium hier ja keine Aussage bzgl der Reihe treffen, oder?
Kann leider nicht ausführlicher antworten, da ich gerade an der Uni bin und nur ein Tablet vor mir habe!
Bräuchte bitte noch vor 4 eine Antwort, wenn möglich ^^
Danke außerdem für deine Hilfe, heute den ganzen Tag schon ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das Quotientenkriterium überprüfe ich ja trotzdem mit der
> Folge, die die Reihe bestimmt (sagt ma so dazu?)
> Ich habe nur den Bruch für das Quotientenkriterium
> gebildet und, wie gesagt, ausmultipliziert!
O.K. ich hab mich oben vertan. Deine Rechnungen könnten richtig sein.
>
> Hab es jetzt mal mit deiner Folge versucht, sie in das
> Quotientenkriterium einzusetzen, und komme auch auf einen
> Limeas von a_an = 1!
> Also kann ich (allein mit dem Quotientenkriterium hier ja
> keine Aussage bzgl der Reihe treffen, oder?
Ja.
>
> Kann leider nicht ausführlicher antworten, da ich gerade
> an der Uni bin und nur ein Tablet vor mir habe!
> Bräuchte bitte noch vor 4 eine Antwort,
Bitte: überzeuge Dich von 0 [mm] \le \bruch{1}{n^2-1} \le \bruch{2}{n^2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Majoran-Kriterium !
> wenn möglich ^^
> Danke außerdem für deine Hilfe, heute den ganzen Tag
> schon ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Ok, sitze gerade an einem Uni-Computer ;)
Ich habe folgendes gemeint:
meine Ausgangsgleichung habe ich folgend erhalten:
[mm] \bruch{|a_{n+1}|}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{|(n+1)^2-1)*(n^4-2n^2+1)|}{|(n^2-1)((n+1)^4-2(n+1)^2+1|} [/mm]
indem ich die Klammern auspotenziert und zusammengefasst habe, bin ich dann auf den Term gekommen, der laut deiner Aussage falsch ist
Mit deiner Reihe bin ich auf folgende Folge gekommen:
[mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] = [mm] \bruch{|n^2-1|}{|n^2+2n|} [/mm]
n heraus holen:
= [mm] \bruch{|1-\bruch{1}{n^2}|}{|1+\bruch{2}{n}|} [/mm]
wenn ich nun n gegen unendlich gehen lasse, bekommen ich einen limes von 1, da ja sowohl [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] als auch [mm] \bruch{2}{n} [/mm] gegen 0 strebt.
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