Quotientenkriterium.. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Untersuche mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz/Divergenz.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k} [/mm] |
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=\bruch{2^{k+1}(k+1)^3+2}{2+(-5)^{k+1}}*\bruch{2+(-5)^k}{2^kk^3+2}
[/mm]
Ich hab auch hier wieder keine Ahnung, wie ich umformen kann. Ich sehe es einfach nicht! Könnt ihr mir Tipps geben? Komme nicht weiter.
LG
heinze
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuche mit dem Quotientenkriterium auf
> Konvergenz/Divergenz.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=\bruch{2^{k+1}(k+1)^3+2}{2+(-5)^{k+1}}*\bruch{2+(-5)^k}{2^kk^3+2}[/mm]
>
> Ich hab auch hier wieder keine Ahnung, wie ich umformen
> kann. Ich sehe es einfach nicht! Könnt ihr mir Tipps
> geben? Komme nicht weiter.
Du hast Beträge verschlampt: [mm] $2+(-5)^k$ [/mm] hat alternierendes Vorzeichen!!
Damit bekommst Du
[mm] $$|\tfrac{a_{k+1}}{a_k}|=\;\text{--}\;\bruch{2+(-5)^k}{2+(-5)^{k+1}}*\bruch{2^{k+1}(k+1)^3+2}{2^kk^3+2}$$
[/mm]
Nur zur Übersicht splitte ich mal:
(1) [mm] $\bruch{2+(-5)^k}{2+(-5)^{k+1}}=\frac{(-5)^k}{(-5)^k}*\frac{\tfrac{2}{(-5)^k}+1}{\tfrac{2}{(-5)^k}-5}=\frac{\tfrac{2}{(-5)^k}+1}{\tfrac{2}{(-5)^k}-5} \to \frac{0+1}{0-5}=\text{ -- }\frac{1}{5}\,.$
[/mm]
(2) [mm] $\bruch{2^{k+1}(k+1)^3+2}{2^kk^3+2}=\frac{k^3}{k^3}*\bruch{2^{k+1}(1+\tfrac{1}{k})^3+\tfrac{2}{k^3}}{2^k+\tfrac{2}{k^3}}=\frac{2^k}{2^k}*\bruch{2^{1}(1+\tfrac{1}{k})^3+\tfrac{2}{2^kk^3}}{1+\tfrac{1}{2^{k-1}k^3}}=\bruch{2^{1}(1+\tfrac{1}{k})^3+\tfrac{2}{2^kk^3}}{1+\tfrac{1}{2^{k-1}k^3}} \to \frac{2*1^3+0}{1+0}=2\,.$
[/mm]
Wie kommst Du damit zum Ende?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
der Grenzwert ist dann -2/5, also konvergiert die Reihe, da kleiner als Null?
Danke dass du mir das so ausführlich erklärt hast! Das hat sehr zum Verstehen geholfen hoffe ich!!
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Heinze,
> der Grenzwert ist dann -2/5, also konvergiert die Reihe, da
> kleiner als Null?
Vorsicht: Was ergibt Minus mal Minus? Die Reihe konvergiert hier auch
nach dem Quotientenkriterium, das hat dann aber was mit dem Limsup
zu tun.
Beachte übrigens: Wenn Du mit Beträgen rechnest, wird da NIEMALS was
rauskommen, was [mm] $<0\,$ [/mm] ist. Und wir haben es hier bei [mm] $|a_{k+1}/a_k|$ [/mm] mit einem
Betrag zu tun gehabt!
> Danke dass du mir das so ausführlich erklärt hast! Das
> hat sehr zum Verstehen geholfen hoffe ich!!
Kein Ding!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
