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Gegeben ist der Integritätsbereich [mm] R_{n} [/mm] : = { [mm] \bruch{a+b\wurzel{n}}{2} [/mm] | a,b [mm] \in \IZ; [/mm] a [mm] \equiv [/mm] b(mod2) }. Das bedeutet ja, dass wenn b=0 stehen dort die ganzen Zahlen und wenn b=1 steht dort [mm] \bruch{a+\wurzel{n}}{2}, [/mm] wobei a nur die ungeraden Zahlen annimmt, richtig?
Und nun steht im Skript, dass [mm] \IQ(\wurzel{n}) [/mm] der Quotientenkörper von [mm] R_{n} [/mm] ist. Und das verstehe ich nicht. Kann mir das jemand erklären?
Dazu muss noch gesagt werden, dass die Voraussetzung ist n [mm] \equiv [/mm] 1(mod4).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Nora!
> Gegeben ist der Integritätsbereich [mm]R_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: = {
> [mm]\bruch{a+b\wurzel{n}}{2}[/mm] | a,b [mm]\in \IZ;[/mm] a [mm]\equiv[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
b(mod2) }.
>
> Das bedeutet ja, dass wenn b=0 stehen dort die ganzen
> Zahlen und wenn b=1 steht dort [mm]\bruch{a+\wurzel{n}}{2},[/mm]
> wobei a nur die ungeraden Zahlen annimmt, richtig?
Ja.
> Und nun steht im Skript, dass [mm]\IQ(\wurzel{n})[/mm] der
> Quotientenkörper von [mm]R_{n}[/mm] ist. Und das verstehe ich
> nicht. Kann mir das jemand erklären?
Nun, das der Zerfaellungskoerper von [mm] $R_n$ [/mm] in [mm] $\IQ(\sqrt{n})$ [/mm] enthalten ist ist klar, oder? (Dies ist ein Koerper der [mm] $R_n$ [/mm] umfasst.) Du musst also zeigen, dass jedes Element aus [mm] $\IQ(\sqrt{n})$ [/mm] geschrieben werden kann als [mm] $\frac{x}{y}$ [/mm] mit $x, y [mm] \in R_n$, [/mm] $y [mm] \neq [/mm] 0$.
Sei $a + b [mm] \sqrt{n} \in \IQ(\sqrt{n})$. [/mm] Dann gibt es ein $m [mm] \in \IZ$, [/mm] $m [mm] \neq [/mm] 0$ mit $m (a + b [mm] \sqrt{n}) [/mm] = a m + b m [mm] \sqrt{n} \in \IZ[\sqrt{n}]$, [/mm] also $a m, b m [mm] \in \IZ$ [/mm] (Hauptnenner z.B.). Dann ist also $a + b [mm] \sqrt{n} [/mm] = [mm] m^{-1} \cdot \frac{2 a m + 2 b m \sqrt{n}}{2}$: [/mm] es ist $m [mm] \in R_n$ [/mm] und [mm] $\frac{2 a m + 2 b m \sqrt{n}}{2} \in R_n$, [/mm] da $2 a m [mm] \equiv [/mm] 2 b m [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$ [/mm] ist.
> Dazu muss noch gesagt werden, dass die Voraussetzung ist n
> [mm]\equiv[/mm] 1(mod4).
Das braucht man nur dazu, dass [mm] $R_n$ [/mm] ueberhaupt ein Ring ist, nicht dafuer dass [mm] $\IQ(\sqrt{n})$ [/mm] der Quotientenkoerper ist.
LG Felix
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Warum muss denn m [mm] \in R_n [/mm] sein? Und dass diese Kongruenzen gelten ist klar, aber was haben sie mit der Aussage zu tun? Und hat man dann damit gezeigt, dass das der Quotientenkörper ist?
Aber ich danke trotzdem bis hierhin schon!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Warum muss denn m [mm]\in R_n[/mm] sein?
Nun, $m$ ist eine ganze Zahl. Und jeder Ring mit $1$ muss alle ganzen Zahlen enthalten.
Oder anders: es gilt $2 m [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$; [/mm] also ist $m = [mm] \frac{2 m + 0 \sqrt{n}}{2} \in R_n$.
[/mm]
> Und dass diese Kongruenzen
> gelten ist klar, aber was haben sie mit der Aussage zu tun?
Sie zeigen, dass [mm] $\frac{2 a m + 2 b m \sqrt{n}}{2} \in R_n$ [/mm] ist.
> Und hat man dann damit gezeigt, dass das der
> Quotientenkörper ist?
Schau dir mal die Definition von Quotientenkoerper an. Was sagt diese?
LG Felix
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Meine Definition lautet wie folgt: Sei der Integritätsbereich R Unterring des Körpers K. Dann heißt K Quotientenkörper von R, wenn R in keinem echten Unterkörper von K enthalten ist.
Und ich weiß, dass es zu jedem Element des Integritätsbereiches R im Quotientenkörper ein multiplikativ Inverses geben muss.
Aber das habe ich damit nicht gezeigt und dass R in keinem echten Unterkörper von K ist auch nicht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Meine Definition lautet wie folgt: Sei der
> Integritätsbereich R Unterring des Körpers K. Dann heißt
> K Quotientenkörper von R, wenn R in keinem echten
> Unterkörper von K enthalten ist.
> Und ich weiß, dass es zu jedem Element des
> Integritätsbereiches R im Quotientenkörper ein
> multiplikativ Inverses geben muss.
> Aber das habe ich damit nicht gezeigt und dass R in keinem
> echten Unterkörper von K ist auch nicht, oder?
Angenommen, du haettest einen Unterkoerper $K'$ von $K$, der $R$ enthaelt. Da es ein Koerper ist enthaelt er auch [mm] $\frac{a}{b}$, [/mm] $a, b [mm] \in [/mm] R$, $b [mm] \neq [/mm] 0$. Aber wenn $K = [mm] \{ \frac{a}{b} \mid a, b \in R, b \neq 0 \}$ [/mm] ist, dann muss bereits $K' = K$ sein. Also gibt es keinen echten Unterkoerper von $K$, der $R$ enthaelt.
Und hier hast du gezeigt, dass [mm] $\IQ(\sqrt{n}) [/mm] = [mm] \{ \frac{a}{b} \mid a, b \in R_n, b \neq 0 \}$ [/mm] ist.
LG Felix
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Ist denn wenn m [mm] \in R_{n} [/mm] auch [mm] m^{-1} \in R_{n}? [/mm] Warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 13.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ist denn wenn m [mm]\in R_{n}[/mm] auch [mm]m^{-1} \in R_{n}?[/mm] Warum?
Wenn [mm] $m^{-1} \in R_n$ [/mm] ist, dann gilt $m [mm] \in R_n$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $m^{-1} \in R_n^\ast$ [/mm] ist. Also eher unwahrscheinlich dass das bei einem zufaelligen $m$ gilt.
Und wenn $m [mm] \in \IZ$ [/mm] ist, dann ist [mm] $m^{-1} \in R_n$ [/mm] genau dann, wenn $m = [mm] \pm [/mm] 1$ ist.
LG Felix
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