Quotienten-/Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 11.12.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Für welche Werte von [mm]x \in \IR [/mm] sind folgende Reihen konvergent? Man versuche, sowohl das Quotienten- als auch das Wurzelkriterium anzuwenden. Verwende dabei [mm] \wurzel[n]{n}->1 [/mm] .
a.) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n^2}
[/mm]
b.) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{2^n}
[/mm]
c.) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n^n} [/mm] |
Hallo!
Ich würde bei allen drei Aufgabe sagen, dass der Nenner größer werden muss, als der Zähler, dann bekommen wir eine Nullfolge und das Ding ist konvergent.
zu a dann also:
[mm] x^n
Mit vollständiger Induktion dann beweisen, dass das für n+1 genauso gut gilt, allerdings habe ich ja kein x, denn darauf soll ich erst kommen. Außerdem ist das ja nicht das Wurzel oder Quotientenkriterium, bzw ich weiß gar nicht, wie die hier drauf anzuwenden sin.
Könnte mir jemand die erste Aufgabe ausführlich mit Kommentaren vorrechnen und Tipps für die anderen Beiden geben, damit ich die dann vielleicht selbst lösen kann?
Vielen Dank!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Di 11.12.2007 | | Autor: | bonczi |
also zu a)
nach quotientenkriterium: [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[mm] |\bruch{x^{n+1}}{(n+1)²}| [/mm] * [mm] |\bruch{n²}{x^{n}}| [/mm] ..... so den rest versuchst du mal alleine, brauchst jetzt nur noch vereinfachen bis du sagen kannst, dass das ergebnis <1 ist und größer als 0, dann konvergiert deine Folge absolut. wenn sie >1 ist oder <0 ist sie divergent und ist sie =1 kannst du zunächst noch garnichts sagen und musst es mit einem anderen kriterium versuchen.
Wuzelkriterium: [mm] \wurzel[n]{|z_{n}|} \le [/mm] q mit q [mm] \in \IR [/mm] 0 [mm] \le [/mm] q<1
[mm] \bruch{\wurzel[n]{|x^{n}|}}{\wurzel[n]{n²}} [/mm] =.... vereinfache jetzt und beachte dabei den hinweis, dass [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1.
ist das ergebnis <1 und größer als 0, dann konvergiert deine Folge absolut. wenn sie >1 ist oder <0 ist sie divergent und ist sie =1 kannst du zunächst noch garnichts sagen und musst es mit einem anderen kriterium versuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 11.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo bonczi!
Vielen Dank für deine Mühe!
Ein Paar Fragen habe ich allerdings noch.
> also zu a)
>
> nach quotientenkriterium: [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
> [mm]\in \IR[/mm] 0 [mm]\le[/mm] q<1
>
> [mm]|\bruch{x^{n+1}}{(n+1)²}|[/mm] * [mm]|\bruch{n²}{x^{n}}|[/mm] ..... so
> den rest versuchst du mal alleine, brauchst jetzt nur noch
> vereinfachen bis du sagen kannst, dass das ergebnis <1 ist
> und größer als 0, dann konvergiert deine Folge absolut.
> wenn sie >1 ist oder <0 ist sie divergent und ist sie =1
> kannst du zunächst noch garnichts sagen und musst es mit
> einem anderen kriterium versuchen.
Ok ich habs nun so gemacht:
[mm] |\bruch{x^{n+1}}{(n+1)²}| [/mm] * [mm] |\bruch{n²}{x^{n}}|
[/mm]
[mm] |x|*|\bruch{n^2}{(n+1)^2}
Diese Reihe konvergiert ja, das sieht man so ganz gut:
[mm] |x|*|\bruch{1}{1+\bruch{2}{n}}+\bruch{1}{n^2}|
lasse ich nun n gegen unendlich laufen, bekomme ich:
|x|<q
Folgt daraus nun automatisch, dass |x|<1 ist? Eigentlich schon oder?!
>
> Wuzelkriterium: [mm]\wurzel[n]{|z_{n}|} \le[/mm] q mit q [mm]\in \IR[/mm] 0
> [mm]\le[/mm] q<1
>
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{|x^{n}|}}{\wurzel[n]{n²}}[/mm] =....
> vereinfache jetzt und beachte dabei den hinweis, dass
> [mm]\wurzel[n]{n} \to[/mm] 1.
Ok also:
[mm] \bruch{\wurzel[n]{|x^{n}|}}{\wurzel[n]{n²}}=\bruch{|x|}{\wurzel[n]{n²}}
[/mm]
Lassen wir n gegen unendlich laufen, dann erhält man |x|<q
> ist das ergebnis <1 und größer als 0, dann konvergiert
> deine Folge absolut. wenn sie >1 ist oder <0 ist sie
> divergent und ist sie =1 kannst du zunächst noch garnichts
> sagen und musst es mit einem anderen kriterium versuchen.
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, wäre schön, wenn du mir nun noch mein weiteres Vorgehen als richtig bestätigen könntest.
Gruß ONeill
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Hallo ONeill,
nach dem QK konvergiert eine Reihe [mm] $\sum a_n$, [/mm] falls [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=q$ [/mm] mit festem q<1
Bei der ersten hast du richtig berechnet [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $|x|\cdot{}1=|x|$
[/mm]
Also konvergiert die Reihe für $|x|<1$
Allerdings hast du hier sämtlich Potenzreihen, die ihre "eigenen" Kriterien haben, natürlich angelehnt an das QK un WK.
Du hast 2 Möglichkeiten:
Du hast eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
[/mm]
(Hier [mm] x_0=0)
[/mm]
Dann gibt es zum einen das Kriterium von Cauchy-Hadamard:
Berechne [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$ [/mm] und die Reihe konvergiert für [mm] $|x-x_0|R$
[/mm]
Für [mm] $|x-x_0|=R$ [/mm] musst du separat prüfen
Zum anderen das sog. Eulerkriterium
Berechne [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
Dann gilt dieselbe Konvergenz-/Divergenzaussage wie oben - wieder mit Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}$
[/mm]
Bei der (b) und (c) empfiehlt sich zB das Kriterium von Cauchy-Hadamard
Dann siehst du's direkt 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Di 11.12.2007 | | Autor: | bonczi |
also ich würde nur das wurzel und quotientenkriterium anwenden, weil das schließlich in der aufgabe so gefordert wird.
schachuzipus hat auf jeden fall recht mit der aussage :
Also konvergiert die Reihe für |x|<1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Di 11.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Danke bonczi und schachuzipus!
Bin jetzt nur nach den beiden Kriterien vorgegangen.
Gruß ONeill
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