Quotient konver. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Mo 25.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Tag zusammen! 
Mir ist beim Beweis des Grenzwertes von Quotienten konvergenter Folgen eine kleine Sache nicht klar. Ich tippe nicht den gesamten Beweis ab
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Satz: Seien [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit lim [mm] b_{n} [/mm] =: b [mm] \not= [/mm] 0. Dann gibt es ein [mm] n_{0} \in \IN, [/mm] sodass [mm] b_{n} \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] und die Quotientenfolge [mm] (a_{n} [/mm] / [mm] b_{n})_{n\gen_{0}} [/mm] konvergiert. Für ihren Grenzwert gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} [/mm] = [mm] \frac{\limes a_{n}}{ \limes b_{n}}
[/mm]
Beweis: Wir behandeln zunächst den Spezialfall, dass [mm] (a_{n}) [/mm] die konstante Folge [mm] a_{n} [/mm] = 1 ist. Da b [mm] \not= [/mm] 0, ist |b|/2 > 0, es gibt also ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit
[mm] |b_{n} [/mm] - b| < [mm] \frac{|b|}{2} \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Daraus folgt, [mm] |b_{n}| \ge [/mm] |b|/2, insbesondere [mm] b_{n} \not= [/mm] 0 für n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
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Die Aussage 'Daraus folgt [mm] |b_{n}| \ge [/mm] |b|/2' verstehe ich nicht. Ich habe schon versucht den Betrag [mm] |b_{n} [/mm] - b| in zwei Fälle aufzudröseln, aber damit komme ich auch nicht zu der Folgerung. Oder ist dies die Anwendung der 2. Dreiecksungleichung?
Viele Grüße
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mo 25.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gilt doch bei Konvergenz für jedes [mm] \epsilon>0 |b_n-b|< \epsilon [/mm] für [mm] n>N_0 [/mm] jetzt ist eben [mm] |b_n|/2 [/mm] dein [mm] \epsilon
[/mm]
du könntest auch [mm] b_n/10>0 [/mm] nehmen oder jede andere Zahl >0
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 25.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo leduart,
danke für deine Antwort.
Hmm das [mm] \epsilon [/mm] ist doch im Beweis |b| / 2 und nicht [mm] |b_{n}| [/mm] / 2 wie du geschrieben hast.
Im Beweis wird ja die Definition der Konvergenz benutzt, nämlich dass es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0, hier insbesondere zu |b| / 2 ein [mm] n_{0} [/mm] gibt, sodass
[mm] |b_{n} [/mm] - b| < [mm] \frac{|b|}{2} \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Mein Verständnisproblem ist nun, wieso hieraus folgt, dass [mm] |b_{n}| \ge [/mm] |b|/2 ist.
Viele Grüße
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 25.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart,
> danke für deine Antwort.
>
> Hmm das [mm]\epsilon[/mm] ist doch im Beweis |b| / 2 und nicht
> [mm]|b_{n}|[/mm] / 2 wie du geschrieben hast.
>
> Im Beweis wird ja die Definition der Konvergenz benutzt,
> nämlich dass es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0, hier insbesondere
> zu |b| / 2 ein [mm]n_{0}[/mm] gibt, sodass
>
> [mm]|b_{n}[/mm] - b| < [mm]\frac{|b|}{2} \forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
>
> Mein Verständnisproblem ist nun, wieso hieraus folgt, dass
> [mm]|b_{n}| \ge[/mm] |b|/2 ist.
Für n [mm] \ge n_0 [/mm] ist
[mm] $|b|-|b_n| \le [/mm] | [mm] |b|-|b_n|| \le |b_n-b| [/mm] < [mm] \frac{|b|}{2}$
[/mm]
also:
[mm] $|b|-|b_n|< \frac{|b|}{2}$
[/mm]
Dann folgt das Resultat.
FRED
>
> Viele Grüße
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 25.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo FRED,
erstmal Danke für's Antworten!
Also die erste Abschätzung ist mir klar (hoffe ich).
[mm] |b|-|b_n| \le ||b|-|b_n||, [/mm] also die Differenz zweier positiver Zahlen ist kleiner oder gleich der Betrag aus der Differenz. Ist die Differenz [mm] \ge [/mm] 0, so gilt linke Seite = rechte Seite, denn er Betrag hat keine Auswirkung.
Ist die Differenz kleiner null, so macht der Betrag diese positiv und es gilt linke Seite < rechte Seite.
Die zweite Abschätzung [mm] ||b|-|b_n|| \le |b_n-b| [/mm] verstehe ich jedoch nicht so ganz.
Es gilt doch [mm] ||b|-|b_n|| \le |b_n-b| [/mm] genau dann wenn jeweils das innere innerhalb der äußeren Beträge übereinstimmt, also
<=> [mm] |b|-|b_n| \le b_n [/mm] - b oder?
Aber bei letzterer Ugleichung stehe ich auf dem Schlauch.
Über einen kleinen Tipp würde ich mich freuen!
Gruß X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:53 Di 26.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
ich hab noch einen kleinen Nachtrag zu meiner Frage.
Die zweite Dreiecksungleichung besagt ja:
||a| - |b|| [mm] \le [/mm] |a-b|.
Es ist deshalb [mm] ||b_n|-|b|| \le |b_n-b| [/mm] gemäß er zweiten Dreiecksungleichung und insgesamt [mm] |b_n|-|b| \le ||b_n|-|b|| \le |b_n-b| [/mm] < |b|/2
Daraus folgt also [mm] |b_n|-|b| [/mm] < |b|/2 bzw. [mm] |b_n| [/mm] < 3|b|/2
Da doch aber [mm] ||b_n|-|b|| [/mm] = [mm] ||b|-|b_n|| [/mm] ist, kann ich doch den ersten Term umdrehen.
Also erhalte ich doch insgesamt:
|b| - [mm] |b_n| \le ||b|-|b_n|| [/mm] = [mm] ||b_n|-|b|| \le |b_n-b| [/mm] < |b|/2
Daraus folgt |b| - [mm] |b_n| [/mm] < |b|/2 bzw. [mm] |b_n| [/mm] > |b|/2
Ist es richtig, dass ich diese zwei Abschätzungen machen kann?
Gruß X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:36 Di 26.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> ich hab noch einen kleinen Nachtrag zu meiner Frage.
>
> Die zweite Dreiecksungleichung besagt ja:
> ||a| - |b|| [mm]\le[/mm] |a-b|.
>
> Es ist deshalb [mm]||b_n|-|b|| \le |b_n-b|[/mm] gemäß er zweiten
> Dreiecksungleichung und insgesamt [mm]|b_n|-|b| \le ||b_n|-|b|| \le |b_n-b|[/mm]
> < |b|/2
>
> Daraus folgt also [mm]|b_n|-|b|[/mm] < |b|/2 bzw. [mm]|b_n|[/mm] < 3|b|/2
>
> Da doch aber [mm]||b_n|-|b||[/mm] = [mm]||b|-|b_n||[/mm] ist, kann ich doch
> den ersten Term umdrehen.
> Also erhalte ich doch insgesamt:
> |b| - [mm]|b_n| \le ||b|-|b_n||[/mm] = [mm]||b_n|-|b|| \le |b_n-b|[/mm] <
> |b|/2
>
> Daraus folgt |b| - [mm]|b_n|[/mm] < |b|/2 bzw. [mm]|b_n|[/mm] > |b|/2
>
> Ist es richtig, dass ich diese zwei Abschätzungen machen
> kann?
ja
nichts anders habe ich oben gemacht
fred
>
> Gruß X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Di 26.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Die umgekehrte Dreiecksungleichung für reelle Zahlen a und b lautet so:
$||a|-|b|| [mm] \le [/mm] |a-b|$
Beweis: $|a|=|a-b+b| [mm] \le [/mm] |a-b|+|b|$. Setzen wir z:=|a|-|b|, so haben wir
$z [mm] \le [/mm] |a-b|$
Vertauschung der Rollen liefert analog: $-z =|b|-|a| [mm] \le [/mm] |b-a|$
Wegen $|a-b|=|b-a|$ folgt:
$z [mm] \le [/mm] |a-b|$ und [mm] $-z\le [/mm] |a-b|$
Daraus folgt $|z| [mm] \le [/mm] |a-b|$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Do 28.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo FRED,
danke für deine Ausführungen! Ich habe nun alles verstanden :)
Lg X3nion
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