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| Aufgabe | Sei [mm] $Q_8$ [/mm] die Untergruppe der komplexen [mm] 2$\times [/mm] 2$ Matrizen, die erteugt wird von [mm] A=$\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 &0
\end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] B=$\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
Zeigen Sie:
a) $BA=A^3B$. Welche rdnung hat A und B?
b) [mm] $Q_8$ [/mm] ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 8
c) Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm] $Q_8$. [/mm] |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich bereite mich derzeit auf meine Klausur in Algebra und Zahlentheorie vor und wollte sicherheitshalber wissen, ob ich mich nicht verrechet habe bzw. habe ich auch ein paar Fragen.
zu a)
$BA=A^3B$ Diese Gleichung stimmt. A und B haben die Ordnung 4.
zu b)
[mm] $Q_8$ [/mm] ist nichtabelsch, da [mm] $AB\neq [/mm] BA$ ist. Wegen [mm] $Q_8=\{\pm 1\pm i\pm j\pm k\}$ [/mm] ist [mm] $|Q_8|=8$. [/mm] Damit hat die Gruppe die Ordnung 8.
c) Hier bin ich mir nun unsicher, ob ich alle Untergruppen erwischt habe. Könnte mir jemand bitte eine Strategie vorschlagen, falls ich was bersehen haben sollte? Ich nach einem Satz von Lagrange vorgegangen: "Die Mächtigkeit der Untergruppe ist Teiler der Mächtigkeit der Gruppe".
Hier meine Untergruppen:
[mm] $U_1=Q_8$
[/mm]
[mm] $U_2=\{1\}$
[/mm]
[mm] $U_3=\{1, -1\}$
[/mm]
[mm] $U_4=\{1, i, j, k\}$
[/mm]
Vielen Dank schon mal für eure Unterstützung.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo,
nachdem die Frage schon eine Weile ruht, versuche ich mich mal an einer ersten Antwort:
> Sei [mm]Q_8[/mm] die Untergruppe der komplexen [mm]2[mm]\times[/mm] 2[/mm]
> Matrizen, die erteugt wird von [mm]A=$\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 &0
\end{pmatrix}[/mm] [mm]und B=[/mm][mm]%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%200%20%26%20i%20%5C%5C%0A%20i%20%26%200%0A%20%5Cend%7Bpmatrix%7D[/mm]
>
Hier bin ich mir unsicher. Die Quaternionengruppe [mm] Q_8 [/mm] hat IMO drei Erzeuger, dann würde noch
[mm]C=\pmat{ i & 0 \\ 0 & i } [/mm]
fehlen.
EDIT: nein, das war falsch. A und B reichen aus, siehe dazu meine zweite Antwort.
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]BA=A^3B[/mm]. Welche rdnung hat A und B?
>
> b) [mm]Q_8[/mm] ist eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 8
>
> c) Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm]Q_8[/mm].
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich bereite mich derzeit auf meine Klausur in Algebra und
> Zahlentheorie vor und wollte sicherheitshalber wissen, ob
> ich mich nicht verrechet habe bzw. habe ich auch ein paar
> Fragen.
>
> zu a)
>
> [mm]BA=A^3B[/mm] Diese Gleichung stimmt. A und B haben die Ordnung
> 4.
Das ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> [mm]Q_8[/mm] ist nichtabelsch, da [mm]AB\neq BA[/mm] ist. Wegen [mm]Q_8=\{\pm 1\pm i\pm j\pm k\}[/mm]
> ist [mm]|Q_8|=8[/mm]. Damit hat die Gruppe die Ordnung 8.
Auch richtig.
>
> c) Hier bin ich mir nun unsicher, ob ich alle Untergruppen
> erwischt habe. Könnte mir jemand bitte eine Strategie
> vorschlagen, falls ich was bersehen haben sollte? Ich nach
> einem Satz von Lagrange vorgegangen: "Die Mächtigkeit der
> Untergruppe ist Teiler der Mächtigkeit der Gruppe".
>
> Hier meine Untergruppen:
>
> [mm]U_1=Q_8[/mm]
> [mm]U_2=\{1\}[/mm]
> [mm]U_3=\{1, -1\}[/mm]
> [mm]U_4=\{1, i, j, k\}[/mm]
Die ersten beiden sind trivial, die dritte ist richtig, die vierte jedoch falsch. Das macht man sich leicht klar, weil nämlich etwa [mm] i^2=j^2=k^2=-1 [/mm] ist.
Es gibt insgesamt drei zueinander isomorphe Untergruppen der Ordnung 4, und mit diesem Hinweis solltest du dieselben eigentlich finden können.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
danke für deine Hilfe. Dein Einwand ist natürlich korrekt. Das hatte ich nicht berücksichtigt.
Hier meine Korrektur:
[mm] $U_4={1,-1, +i, -i}$
[/mm]
[mm] $U_5={1,-1, +j, -j}$
[/mm]
[mm] $U_6={1,-1, +k, -k}$
[/mm]
Bitte gib/gebt mir doch eine Rückmeldung auf eventuelle Fehler.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo,
jetzt hast du auch die Untergruppen der Ordnung 4 richtig. Weitere Untergruppen gibt es nicht.
Und über die Sache mit den Erzeugern habe ich auch nochmal nachgedacht. Die zwei aus dem Themenstart reichen, da man ja aus ihnen schon wegen
i*j=k
i*i=-1
jedes Element von [mm] Q_8 [/mm] bekommt.
Gruß, Diophant
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Jo, vielen Dank Diophant! 
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