Quaternionengruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei Q die von [mm] A=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} [/mm] und [mm] B=\pmat{0 & i \\ i & 0} [/mm] erzeugte Untergruppe in [mm] Gl_2(\IC), [/mm] die Quaternionengruppe . Zeigen Sie:
a) Q ist eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 8.
b) Q enthält genau ein Element der Ordnung 2.
c) Q ist nicht isomorph zu [mm] D_8. [/mm] |
Meine Frage bezieht sich gar nicht so sehr darauf, wie man a), b) und c) löst. Denn ich habe eine grobe Vorstellung, was man zeigen soll.
Meine Frage ist vielmehr:
Was sind denn die Elemente der Quaternionengruppe bzw. was bedeutet: "die von A und B erzeugte Untergruppe"?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Do 18.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> Es sei Q die von [mm]A=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}[/mm] und [mm]B=\pmat{0 & i \\ i & 0}[/mm]
> erzeugte Untergruppe in [mm]Gl_2(\IC),[/mm] die Quaternionengruppe .
> Zeigen Sie:
>
> a) Q ist eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 8.
> b) Q enthält genau ein Element der Ordnung 2.
> c) Q ist nicht isomorph zu [mm]D_8.[/mm]
> Meine Frage bezieht sich gar nicht so sehr darauf, wie man
> a), b) und c) löst. Denn ich habe eine grobe Vorstellung,
> was man zeigen soll.
>
> Meine Frage ist vielmehr:
>
> Was sind denn die Elemente der Quaternionengruppe bzw. was
> bedeutet: "die von A und B erzeugte Untergruppe"?
>
>
Hallo,
die von A und B erzeugte Untergruppe ist die kleinste Untergruppe, die A und B enthält. Es ist diejenige Menge von Elementen, die du durch Verknüpfung von A und B miteinander bzw. mit sich selbst erhälst. Also sind in der betrachteten UG die Elemente [mm] $A^2, [/mm] AB, BA, [mm] B^2,...$ [/mm] enthalten. Du kannst die Elemente bestimmen, indem du so lange Elemente verknüpfst und das Ergebnis zur Menge hinzunimmst, bis die Menge abgeschlossen ist unter der betrachteten Gruppenverknüpfung.
Viele Grüße, Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Danke!
Genau das werde ich tun und mein Ergebnis dann posten.
|
|
|
|
