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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \| \cdot \|_p, [/mm] 0<p<1 eine Quasinorm auf dem Folgenraum [mm] \{ x = (x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^p < \infty \} [/mm] ist. |
Hallo,
ich denke die beiden ersten Normeigenschaften sieht man so:
1.) ( [mm] \sum_{j=0}^{\infty}|x_j|^p)^{1/p} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_j [/mm] = 0, da sonst [mm] \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^p [/mm] < [mm] \infty [/mm] nicht gelten würde. Damit die Summe ein endlich Wert wird, müssen die Summanden ja sehr klein sein. Und hier soll ja sogar Null herauskommen. Kann man das so begründen...?
2.) [mm] \| \alpha x\| [/mm] = [mm] \alpha \|x\| [/mm] ist klar, das [mm] \alpha [/mm] kann man ja einfach herausziehen, auch wenn 0<p<1 gilt.
3.) z.z. [mm] \|x+y\|_p \leq [/mm] c [mm] (\|x\|_p [/mm] + [mm] \|y\|_p), [/mm] c > 0.
Hier weiß ich nicht weiter. Wie kann ich
[mm] (\sum_{j=1}^{\infty} |x_j [/mm] + [mm] y_j|^p)^{1/p} [/mm] ohne die Minkowski-Unglg abschätzen, die ja für 0<p<1 leider nicht mehr gilt?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Sa 21.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Zeigen Sie, dass [mm]\| \cdot \|_p,[/mm] 0<p<1 eine Quasinorm auf
> dem Folgenraum [mm]\{ x = (x_j)_{j \in \mathbb{N}} : \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^p < \infty \}[/mm]
> ist.
> Hallo,
> ich denke die beiden ersten Normeigenschaften sieht man
> so:
> 1.) ( [mm]\sum_{j=0}^{\infty}|x_j|^p)^{1/p}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_j[/mm]
> = 0, da sonst [mm]\sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^p[/mm] < [mm]\infty[/mm] nicht
> gelten würde. Damit die Summe ein endlich Wert wird, müssen
> die Summanden ja sehr klein sein. Und hier soll ja sogar
> Null herauskommen. Kann man das so begründen...?
Da denkst du aber viel zu kompliziert. Du hast eine konvergente unendliche Reihe mit lauter nichtnegativen Reihengliedern, die damit auch absolut konvergiert. Wenn nur eines dieser Glieder $>0$ ist, ist auch die Reihe größer als 0.
Viele Grüße,
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Sa 21.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> 3.) z.z. [mm]\|x+y\|_p \leq[/mm] c [mm](\|x\|_p[/mm] + [mm]\|y\|_p),[/mm] c > 0.
> Hier weiß ich nicht weiter. Wie kann ich
> [mm](\sum_{j=1}^{\infty} |x_j[/mm] + [mm]y_j|^p)^{1/p}[/mm] ohne die
> Minkowski-Unglg abschätzen, die ja für 0<p<1 leider nicht
> mehr gilt?
Du musst eine schwächere Ungleichung benutzen. Du kannst ja ein beliebig großes, festes c herausbekommen.
Zum Bespiel: für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt: $a+b [mm] \le [/mm] 2 [mm] \max\{a,b\}$. [/mm] Daher ist
[mm] |x_j+y_j|\le |x_j|+|y_j| \le 2 \max\{|x_j|,|y_j|\} [/mm]
Jetzt nimm beide Seiten hoch p und beachte, dass für nichtnegative a,b [mm] $(\max\{a,b\})^p [/mm] = [mm] \max\{a^p,b^p\} [/mm] $ ist, wegen der Monotonie der Exponentiation.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Hilfe!
Wie kann man die von die genannte Ungleichung beweisen?
Beide Seiten hoch p haben wir
[mm] |x_j [/mm] + [mm] y_j|^p \leq 2^p max\{ |x_j|^p,|y_j|^p \}.
[/mm]
Aber wie ist das nun mit der SUmme? Kann man das so abschätzen:
[mm] (\sum_{j=1}^{\infty} |x_j [/mm] + [mm] y_j|^p)^{1/p} \leq [/mm] (2 [mm] \sum_{j=1}^{\infty} [/mm] max [mm] \{|x_j|, |y_j|\}^{1/p} \leq [/mm] 2 [mm] (\sum |x_j| [/mm] + [mm] \sum |y_j|)^{1/p} [/mm] ??
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 23.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Wie kann man die von die genannte Ungleichung beweisen?
Es ist doch [mm] $a\le \max\{a,b\}$ [/mm] und [mm] $b\le \max\{a,b\}$; [/mm] und wenn du dann beide Gleichungen addierst....
>
> Beide Seiten hoch p haben wir
>
> [mm]|x_j[/mm] + [mm]y_j|^p \leq 2^p max\{ |x_j|^p,|y_j|^p \}.[/mm]
>
> Aber wie ist das nun mit der SUmme? Kann man das so
> abschätzen:
>
> [mm](\sum_{j=1}^{\infty} |x_j + y_j|^p)^{1/p} \leq (2 \sum_{j=1}^{\infty} max \{|x_j|, |y_j|\}^{1/p} \leq 2 (\sum |x_j| + \sum |y_j|)^{1/p}[/mm] ??
Da sind ein paar Exponenten verloren gegangen:
[mm] \left(\sum_{j=1}^{\infty} |x_j + y_j|^p\right)^{1/p} \leq 2 \left(\sum_{j=1}^{\infty} max \{|x_j|^p, |y_j|^p\}\right)^{1/p} \le 2 \left(\sum |x_j|^p + \sum |y_j|^p\right)^{1/p}[/mm]
Die rechte Seite ist wieder von der Form [mm] $(a+b)^{e}$, [/mm] da kannst du die gleiche Abschätzung noch einmal anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Di 24.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ah, vielen Dank, das ist cool  !
Dann haben wir
... [mm] \leq [/mm] 2 [mm] \dot [/mm] 2 [mm] max\{ (\sum|x_j|^p)^{1/p}, (\sum |y_j|^p)^{1/p} \}
[/mm]
[mm] \leq [/mm] 4 ( [mm] \|x\|_p [/mm] + [mm] \|y\|_p).
[/mm]
Bekommt man für das c also eine solch konkrete Zahl heraus?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Di 24.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ok super, vielen Dank für deine Hilfe!! Macht nichts wenn die Abschätzung grob ist, wir sind immerhin mit ihr zum Ziel gekommen.
Viele Grüße,
Riley
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