Quantils,Dichte,Verteilungsfkt < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo liebe Community!
Ich habe da ein paar Fragen betreffende Quantil, Dichte und Verteilungsfunktion wenn es um diese Abschnittweise definierten Funktionen geht.
Ich hoffe auf meine Fragen gibt es einfache, allgemeine Antworten =)
Also 1. zur Quantilfunktion:
Also nehmen wir an, ich habe eine Verteilungsfunktion F(x) gegeben. Dann ist ja, sofern F(x) stetig ist, meine Quantilfunktion einfach die Umkehrfunktion, nicht wahr?
Wie genau mache ich das, wenn meine Funktion abschnittsweise definiert ist, mit mehreren Bereichen positiv? (ich habe leider kein Beispiel mit mehreren positiven Bereichen >0, einer von euch eins?)
also irgendwie sowas:
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ b, & \mbox{für } 0 \leq x \leq 3 \\ c & 3 < x \leq 5 \\ 1 & x > 5 \end{cases}
[/mm]
Wie bestimme ich denn von so einer zerstückelten Funktion die Umkehrabbildung? Muss ich dann auch die Quantilfunktion zerstückeln?
Ähnliche Frage bei Dichte -> Verteilungsfunktion.
Da muss ich ja die Dichte von [mm] -\infty [/mm] nach x integrieren. Wenn meine Dichte jetzt so ähnlich wie F(x) oben aussieht, dann müsste ich mein Integral ja auch aufspalten, würde aber am Ende einen Term als Ergebnis erhalten oder? Aber das kann ja nicht sein, ich muss doch dann auch die Verteilungsfunktion zerstückeln?
Kann ich da einfach jeden Abschnitt einzeln nehmen und integrieren? Und dann genauso in die Verteilungsfunktion schreiben?
Hat vielleicht jemand ein gutes Beispiel an dem wir das mal durchgehen könnten?
Danke!
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> Ich habe da ein paar Fragen betreffend Quantil, Dichte und
> Verteilungsfunktion wenn es um diese abschnittweise
> definierten Funktionen geht.
>
> Also 1. zur Quantilfunktion:
>
> Also nehmen wir an, ich habe eine Verteilungsfunktion F(x)
> gegeben. Dann ist ja, sofern F(x) stetig ist, meine
> Quantilfunktion einfach die Umkehrfunktion, nicht wahr?
Auch wenn F stetig ist, gibt es nicht unbedingt eine
Umkehrfunktion. Um sicher eine solche zu haben, müsste
man verlangen, dass F streng monoton wachsend ist.
>
> Wie genau mache ich das, wenn meine Funktion
> abschnittsweise definiert ist, mit mehreren Bereichen
> positiv? (ich habe leider kein Beispiel mit mehreren
> positiven Bereichen >0, einer von euch eins?)
ich verstehe nicht, was du damit meinst
> also irgendwie sowas:
>
> [mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ b, & \mbox{für } 0 \leq x \leq 3 \\ c & 3 < x \leq 5 \\ 1 & x > 5 \end{cases}[/mm]
gut, setzen wir doch z.B. noch b:=0.4 und c:=0.7
> Wie bestimme ich denn von so einer zerstückelten Funktion
> die Umkehrabbildung? Muss ich dann auch die Quantilfunktion
> zerstückeln?
die Quantilfunktion ist in diesem Fall ja eben nicht die Umkehr-
abbildung von F (weil es eine solche gar nicht gibt)
Sie wird trotzdem etwa mit [mm] F^{-1} [/mm] bezeichnet, was nicht
unbedingt sehr geschickt ist. Aber in der Statistik muss man
sich wohl daran gewöhnen, dass man es mit Ungenauigkeiten
zu tun hat... 
Ich verwende also die unschöne Bezeichnung trotzdem. Die
Definition der Quantilfunktion ist:
[mm] F^{-1}(p)=inf\{x\in \IR | F(x) \ge p \}
[/mm]
allenfalls ergänzt durch [mm] F^{-1}(1)=\infty
[/mm]
Im vorliegenden Beispiel wäre also etwa:
[mm] F^{-1}(0.1)=0
[/mm]
[mm] F^{-1}(0.4)=0
[/mm]
[mm] F^{-1}(0.401)=3
[/mm]
[mm] F^{-1}(0.7)=3
[/mm]
> Ähnliche Frage bei Dichte -> Verteilungsfunktion.
>
> Da muss ich ja die Dichte von [mm]-\infty[/mm] nach x integrieren. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn meine Dichte jetzt so ähnlich wie F(x) oben aussieht,
also du meinst eine abschnittsweise konstante Dichte...
(die Gesamtfläche unter dem Graph der Dichtefunktion
müsste aber 1 ergeben, im Unterschied zum Graph von F !)
> dann müsste ich mein Integral ja auch aufspalten, würde
> aber am Ende einen Term als Ergebnis erhalten oder? Aber
> das kann ja nicht sein, ich muss doch dann auch die
> Verteilungsfunktion zerstückeln?
nicht die Funktion selber; nur ihre formale Darstellung
> Kann ich da einfach jeden Abschnitt einzeln nehmen und
> integrieren? Und dann genauso in die Verteilungsfunktion
> schreiben?
im Prinzip ja
aber: genau auf die Integrationskonstanten achten !
> Hat vielleicht jemand ein gutes Beispiel an dem wir das mal
> durchgehen könnten?
Na, machen wir eines:
Die Dichtefunktion f sei definiert durch:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0.2 & \mbox{für } 0
Für F(x) ergibt sich dann:
[mm] F(x)=\begin{cases}0 & x \le 0 \\ 0.2*x & \mbox{für } 05 \end{cases}
[/mm]
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") al-Chwarizmi
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