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Hallo ich habe eine Frage, und zwar bei einer 3dimensionalen Quadrik komme ich letztendlich auf folgende Form
[mm] \bruch{(y_{1})^{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{(y_{2})^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{(y_{3})^{2}}{12} [/mm] = 1
Ich habe jetzt auf der Liste nachgeschaut, was das für eine Form ist (http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation), allerdings gibt es dort diese Form nicht, also das das Minus vor der 2.Koordinate ist, es gibt nur eine Form wo das Minus vor der 3.Koordinate ist (einschaliges Hyperbloid)
Jetzt meine Frage: Heißt das, dass ich mich verrechnet habe, weil es mein Ergebnis auf der Liste nicht gibt oder ist egal vor welcher Koordinate das Minus ist?
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Hallo Unschuldslamm,
diese Frage müsstest Du selbst lösen können. 
> Hallo ich habe eine Frage, und zwar bei einer
> 3dimensionalen Quadrik komme ich letztendlich auf folgende
> Form
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> [mm]\bruch{(y_{1})^{2}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{(y_{2})^{2}}{4}[/mm] +
> [mm]\bruch{(y_{3})^{2}}{12}[/mm] = 1
>
> Ich habe jetzt auf der Liste nachgeschaut, was das für
> eine Form ist
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation),
> allerdings gibt es dort diese Form nicht, also das das
> Minus vor der 2.Koordinate ist, es gibt nur eine Form wo
> das Minus vor der 3.Koordinate ist (einschaliges
> Hyperbloid)
Hmpf.
> Jetzt meine Frage: Heißt das, dass ich mich verrechnet
> habe, weil es mein Ergebnis auf der Liste nicht gibt oder
> ist egal vor welcher Koordinate das Minus ist?
Wie wärs mit einer Umbenennung? Definiere
[mm] x_1=y_1,\;\;x_2=y_3\;\;x_3=y_2
[/mm]
Steht Dein Ergebnis (jetzt in [mm] $x_1,x_2,x_3$) [/mm] jetzt auf der Liste?
So ein einschaliges Hyperboloid ist ja eine Rotationsfläche. Es kommt halt drauf an, um welche Achse man die Hyperbel dreht...
Ist Deine Frage damit beantwortet?
Grüße
reverend
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| Aufgabe | euklidische Quadrik:
[mm] 2x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{3}^{2}-12=0 [/mm] |
hallo reverend, danke für deine Hilfe, aber, nein leider bringt mir das Umbenennen der Variablen nichts :(
Ich habe jetzt einmal die Angabe gepostet
Matrix [mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 1\\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }
[/mm]
EW [mm] \lambda1=-3, \lambda2=3, \lambda3=1
[/mm]
EV [mm] v1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} v2=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] v3=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] (EV stehen alle orthogonal aufeinander, muss nur mehr noch normieren)
meine Matrix U
[mm] U=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
dann muss ich ja in folgende Formel einsetzen:
[mm] x^{t}Ax [/mm] + [mm] 2b^{t}x [/mm] + c = 0
Transformieren x=Uy
=> [mm] y^{t}U^{t}AUy [/mm] - 12 = 0 (ich habe ja keinen Linearteil, also fällt das b weg)
[mm] y^{t}*\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & \wurzel{2} & 0 \\ -1 & 0 & 0 }\pmat{ 2 & 0 & 1\\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 }y [/mm] - 12=0
und bei der Matrixmultiplikation kommt bei mir, sowohl wnen ich es mit der Hand berechne, als auch mit dem Computer folgendes heraus [mm] \pmat{ 6 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
also das Minus bei der 2.Koordinate :(
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Hallo Inocencia,
ich habs nur diagonal gelesen, aber das sieht doch gut aus.
Für die Identifikation der Quadrik ist es egal, vor welcher Koordinate das Minuszeichen steht. Es bleibt bei einem einschaligen Hyperboloid.
Für die Bestimmung der Lage der Fläche ist es allerdings entscheidend, welche der Koordinaten sozusagen anders ist als die beiden andern. Das ist nämlich die Rotationsachse, bei Dir also die [mm] $y_2$-Achse.
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Hier wird z.B. etwas zu zweidimensionalen Quadriken gesagt: "Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes..."
Das gilt auch in drei oder mehr Dimensionen.
Oder anders: natürlich sind [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] x=y^2 [/mm] Parabeln, sie "liegen" nur anders...
Jetzt besser?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Inocencia |
Vielen Dank, ja damit ist meine Frage beantwortet :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 03.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Vielen Dank, ja damit ist meine Frage beantwortet :)
Prima. Sorry, wenn es so ein bisschen von hinten durch die Brust ins Auge war.
Grüße
reverend
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