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| Aufgabe | Transformieren Sie die foglende Quadrik in Normalform:
Q = { [mm] (x,y)^T \in \IR^2 [/mm] | [mm] 7x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + 6xy +52x +4y +58 = 0 } |
huhu,
ich würde gerne diese Musterlösung posten, da ich einige Fragen zu den Umformungen habe:
also man hat
Q = { [mm] (x,y)^T \in \IR^2 [/mm] | [mm] 7x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + 6xy +52x +4y +58 = 0 }
ohne Rechenschritte geht man über in die Form:
(x,y) [mm] \pmat{ 7 & 3 \\ 3 & -1 } \vektor{x \\ y} [/mm] + 2(26,2) [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] +58 =0
Dabei ist A:= [mm] \pmat{ 7 & 3 \\ 3 & -1 } [/mm] , [mm] b^T [/mm] := (26,2), c:= 58
=> Wie kommt man so schnell auf die Matrixdarstellung? Andersrum ist leicht, da muss man nur multiplizieren. Gibt es ein Trick wie man die Matrixdarstellung der Funktion schnell einsehen kann?
Und warum ist [mm] b^T [/mm] definiert als (26,2) ? Wieso hat man die 2 [mm] \* [/mm] darvorstehen lassen und warum zählt sie nicht zu [mm] b^T [/mm] ?
Als nächstes, was mir klar ist, werden zur Matrix A Eigenwerte (8,-2) und Eigenvektoren bestimmt, diese dann normiert und zur Transformationsmatrix P gemacht. Dabei ist normiert
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} \vektor{3 \\ 1} v_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} \vektor{-1 \\ 3}
[/mm]
und P := [mm] v_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} \* \pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 3 }
[/mm]
Man setzt nun [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = P [mm] \vektor{u \\ v}
[/mm]
warum?
(x,y) A [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] 2b^T \vektor{x \\ y} [/mm] +c = (u,v) [mm] P^T [/mm] A P [mm] \vektor{u \\ v} [/mm] + [mm] 2b^T [/mm] P [mm] \vektor{u \\ v} [/mm] +c = 0
<=> (u,v) [mm] \pmat{ 8 & 0 \\ 0 & -2 } \vektor{u \\ v} [/mm] + [mm] \bruch{2}{\wurzel{10}} [/mm] (26,2) [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & -3 } \vektor{u \\ v} [/mm] +58 = 0
[mm] <=>8u^2 -2v^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} [/mm] 160 u + [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} [/mm] 40 v + 58 = 0 | : 2
<=> [mm] 4(u^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} \* [/mm] 20u) [mm] -(v^2 -\bruch{1}{\wurzel{10}} \20 [/mm] v) +29 = 0
[mm] <=>4(u^2 +\bruch{20}{\wurzel{10}} [/mm] u +10) [mm] -(v^2 -\bruch{20}{\wurzel{10}} [/mm] +10) +29 + 10 -40
<=> [mm] 4(u+\wurzel{10} )^2 [/mm] - (v - [mm] \wurzel{10})^2 [/mm] = 1
( ist die bin. Formel hier nicht falsch ? der Mittelterm ist doch 2ab also 2 [mm] \* \wurzel{10} \*u [/mm] , das ist doch ungleich [mm] \bruch{20}{\wurzel{10}} [/mm] u ? oder irre ich mich? )
Setze x' = [mm] u+\wurzel{10} [/mm] y'= v - [mm] \wurzel{10} [/mm] und folgt: [mm] 4(x')^2 -(y')^2 [/mm] =1. Dies ist eine Gleichung einer hyperbel. (also Normalenform verstehe ich so, dass statt einem quadr. + linearen + konstanten Teil nur eine ein Teil davon überig bleibt oder?)
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Hallo,
> Transformieren Sie die foglende Quadrik in Normalform:
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> $ [mm] Q=\{(x,y)^T\in\IR^2:7x^2-y^2+6xy+52x+4y+58=0\} [/mm] $
Das ist eine quadratische Gleichung der Form
$ [mm] Q=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 [/mm] $.
Diese Gleichung kann allgemein geschrieben werden als
$ [mm] \mathbf{x}^{T}\mathsf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}^{T}\mathbf{x}+F=0 [/mm] $
wobei $ [mm] \mathsf{A}=\pmat{A & B/2 \\ B/2 & C} [/mm] $ und $ [mm] \mathbf{b}^{T}=\vektor{d & e} [/mm] $.
> huhu,
>
> ich würde gerne diese Musterlösung posten, da ich einige
> Fragen zu den Umformungen habe:
>
> also man hat
>
> $ [mm] Q=\{(x,y)^T\in\IR^2:7x^2-y^2+6xy+52x+4y+58=0\} [/mm] $
>
>
> ohne Rechenschritte geht man über in die Form:
>
> (x,y) [mm]\pmat{ 7 & 3 \\ 3 & -1 } \vektor{x \\ y}[/mm] + 2(26,2)
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] +58 =0
>
> Dabei ist A:= [mm]\pmat{ 7 & 3 \\ 3 & -1 }[/mm] , [mm]b^T[/mm] := (26,2),
> c:= 58
>
> => Wie kommt man so schnell auf die Matrixdarstellung?
> Andersrum ist leicht, da muss man nur multiplizieren. Gibt
> es ein Trick wie man die Matrixdarstellung der Funktion
> schnell einsehen kann?
s.o.
> Und warum ist [mm]b^T[/mm] definiert als (26,2) ? Wieso hat man die
> 2 [mm]\*[/mm] darvorstehen lassen und warum zählt sie nicht zu [mm]b^T[/mm]
> ?
Persönliche Vorliebe, will man in der matrizendarstellung nicht durch zwei teilen, dann lässt man es so stehen, wie du es hast.
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> Als nächstes, was mir klar ist, werden zur Matrix A
> Eigenwerte (8,-2) und Eigenvektoren bestimmt, diese dann
> normiert und zur Transformationsmatrix P gemacht. Dabei ist
> normiert
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{10}} \vektor{3 \\ 1} v_2[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{10}} \vektor{-1 \\ 3}[/mm]
> und P := [mm]v_1[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{10}} \* \pmat{ 3 & -1 \\ 1 & 3 }[/mm]
>
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> Man setzt nun [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = P [mm]\vektor{u \\ v}[/mm]
> warum?
Die Matrix A ist symmetrisch, also sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal, die Matrix $ [mm] \mathsf{P}=\vektor{\mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2}} [/mm] $ mit $ [mm] \lambda_{1}\mathbf{v}_{1}=\mathrm{A}\mathbf{v}_{1} [/mm] $ und $ [mm] \lambda_{2}\mathbf{v}_{2}=\mathrm{A}\mathbf{v}_{2} [/mm] $ ist orthogonal (also [mm] \mathsf{P}\mathsf{P}^{T}=\mathsf{Id} [/mm] und [mm] \mathrm{det}{P}=1) [/mm] und daher eine Rotationsmatrix.
$ [mm] \vektor{x \\ y}=\mathsf{P}\vektor{u \\ v} [/mm] $ ist nichts als eine Rotation des Koordinatensystems.
> (x,y) A [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] + [mm]2b^T \vektor{x \\ y}[/mm] +c = (u,v)
> [mm]P^T[/mm] A P [mm]\vektor{u \\ v}[/mm] + [mm]2b^T[/mm] P [mm]\vektor{u \\ v}[/mm] +c = 0
>
> <=> (u,v) [mm]\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & -2 } \vektor{u \\ v}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{10}}[/mm] (26,2) [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & -3 } \vektor{u \\ v}[/mm]
> +58 = 0
>
> [mm]<=>8u^2 -2v^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{10}}[/mm] 160 u +
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{10}}[/mm] 40 v + 58 = 0
> | : 2
>
> <=> [mm]4(u^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{10}} \*[/mm] 20u) [mm]-(v^2 -\bruch{1}{\wurzel{10}} \20[/mm]
> v) +29 = 0
>
> [mm]<=>4(u^2 +\bruch{20}{\wurzel{10}}[/mm] u +10) [mm]-(v^2 -\bruch{20}{\wurzel{10}}[/mm]
> +10) +29 + 10 -40
>
> <=> [mm]4(u+\wurzel{10} )^2[/mm] - (v - [mm]\wurzel{10})^2[/mm] = 1
>
> ( ist die bin. Formel hier nicht falsch ? der Mittelterm
> ist doch 2ab also 2 [mm]\* \wurzel{10} \*u[/mm] , das ist doch
> ungleich [mm]\bruch{20}{\wurzel{10}}[/mm] u ? oder irre ich mich? )
$ [mm] 2\sqrt{10}u=2\frac{\sqrt{10}\sqrt{10}}{\sqrt{10}}u=\frac{2*10}{\sqrt{10}}u [/mm] $ - du irrst dich.
> Setze x' = [mm]u+\wurzel{10}[/mm] y'= v - [mm]\wurzel{10}[/mm] und folgt:
> [mm]4(x')^2 -(y')^2[/mm] =1. Dies ist eine Gleichung einer
> hyperbel.
Es ist eine Hyperbel - ja.
> (also Normalenform verstehe ich so, dass statt
> einem quadr. + linearen + konstanten Teil nur eine ein Teil
> davon überig bleibt oder?)
Die Normalenform hat keine xy-Terme mehr.
LG
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Super erklärt! Vielen lieben Dank ;)
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