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| Aufgabe | Es sei K ein Körper. Weiter sei f = [mm] x^{T}Ax+2b^{T}x+c\in [/mm] K[x] ein Quadrikpolynom mit [mm] A\in M(n\times [/mm] n, K) symmetrisch, [mm] b\in K^{n}, c\in [/mm] K.
m ist Mittelpunkt einer Quadrik $Q(f) = [mm] \{x\in K^{n}:f(x) = 0\}$ [/mm] genau dann, wenn gilt: [mm] $(m+x)\in [/mm] Q(f) [mm] \Rightarrow (m-x)\in [/mm] Q(f)$.
Zeige: Liegt Q(f) in keinem echten affinen Unterraum, so ist äquivalent:
(i) Die Lösungsmenge von Ax = -b ist nicht leer.
(ii) Q(f) hat einen Mittelpunkt. |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe komme ich nicht so recht weiter. Vor allem weiß ich nicht so recht, was mir die Aussage "Q(f) liegt in keinem echten affinen Unterraum" bringt. Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
Wenn Q(f) Teilmenge eines affiner Unterraums a + U wäre, dann müsste der Mittelpunkt m selbst Element des affinen Unterraums 2a + U sein. Das heißt, [mm] m\not= [/mm] 0. Aber bringt mir das was?
Ich versuche mal (ii) --> (i).
Ich habe oft gelesen, dass man eine Translation [mm] $\phi(x) [/mm] = x + p$ [mm] (p\in K^{n}) [/mm] anwendet, dann erhält man:
[mm] $f(\phi) [/mm] = [mm] x^{T}Ax [/mm] + [mm] 2*(Ap+b)^{T}*x [/mm] + f(p)$,
wobei $f(p) = [mm] p^{T}Ap+2b^{T}p+c$ [/mm] nur von p abhängig ist. Daraus folgert man dann irgendwie, p = m gerade Mittelpunkt ist, weil dann Ap+b=Am+b=0 sein muss, also m Lösung von Ax = -b ist. Die Folgerung verstehe ich nicht. Dann ist ja [mm] $f(\phi) [/mm] = [mm] x^{T}Ax [/mm] + f(m)$.
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Wir haben auch noch einen anderen Tipp bekommen. Wenn [mm] x\in [/mm] Q(f) ist, folgt, wenn es einen Mittelpunkt gibt, dass [mm] 2m-x\in [/mm] Q(f) ist. Wenn man diese beiden Gleichungen ausschreibt und voneinander abzieht, erhalte ich:
[mm] $x^{T}Ax+2b^{T}x+c=0$
[/mm]
[mm] $(2m-x)^{T}A(2m-x)+2b^{T}(2m-x)+c=0$
[/mm]
--> [mm] $(Am+b)^{T}*(m-x) [/mm] = 0$
Es gibt jetzt aber zwei Probleme: 1. Weiß ich ja gar nicht ob der Existenz eines Elements [mm] x\in [/mm] Q(f), und 2. müsste ich ja zeigen, dass (m-x) alle Werte aus [mm] K^{n} [/mm] annehmen kann, damit ich daraus folgern kann dass Am+b = 0.
Bei beidem weiß ich nicht, wie ich darauf komme...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 08.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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