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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:22 Di 06.09.2011 | | Autor: | Mat_ |
| Aufgabe | Man bestimme den Typ des Kegelschnittes
[mm] x^2 - 4xy +3y +cx +dy +5[/mm]
in Abhängig von den Parameter c und d. |
Nun gewöhnlicherweise führe ich für solche Aufgaben eine Hauptachsentransformation durch, damit ich die Gleichung auf Normalform bringen kann.
[mm]A=\pmat{ 1 & -2 \\ -2 & 3 } B = \vektor{c \\ d} C =5 [/mm]
Eigenwerte mit dazugehörigen Eigenvektoren von A:
[mm]\lambda_1 = 2+\wurzel{5} \quad v_1=\vektor{2/(-1-\wurzel{5})\\ 1}\quad \lambda_2 = 2-\wurzel{5} \quad v_2=\vektor{2/(-1+\wurzel{5})\\ 1)} [/mm]
Nun ja jetzt müsste ich die Vektoren nur noch normieren (sind bereits zueinander orthogonal) und ich hätte meine Transformationmatrix P.
Mittels [mm] P^t [/mm] AP + [mm] BP^t [/mm] +C kann ich die Gleichung umschreiben. Die linearen Terme können mit quadratischem Ergänzen eliminiert werden. Doch in meinem Fall mit so "unschönen" Werten ist das wahnsinnig zeitaufwändig und fehleranfällig. Meine Kollege meinte, dass ich eine erweiterte Matrix bilden soll, welche aus A und dem Spaltenvektor B besteht. danach sollte ich diese mittels Zeilen-und Spaltenumformungen (verändern Spaltenumformungen nicht die Lösungsmenge?) auf Zeilenstufenform bringen. und danach die Gleichung für neu schreiben für das A in Diagonalform und das veränderte B. Nun ich verstehe das nicht ganz und möchte fragen, ob jemand von hier mir dies vielleich etwas ausführlicher erkären könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 08.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Man bestimme den Typ des Kegelschnittes
> [mm]x^2 - 4xy +3y +cx +dy +5[/mm]
> in Abhängigkeit von den Parametern c und d.
Hallo Mat_ ,
wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, ist
ja nur der Typ (Kreis, Ellipse, ... , Geradenpaar) des
Kegelschnitts zu ermitteln.
Deswegen würde ich das einmal schlicht mit quadratischem
Ergänzen angehen:
[mm]x^2 - 4xy +3y^2 +c*x +d*y +5\ =\ 0[/mm]
(du hattest den Exponenten 2 in [mm] y^2 [/mm] vergessen, und die
rechte Seite gehört zur Kegelschnittgleichung dazu)
[mm]x^2 - 4xy +4y^2-y^2 +c*x +d*y +5\ =\ 0[/mm]
[mm](x-2y)^2-y^2 +c*x +d*y +5\ =\ 0[/mm]
Substitution: $u:=\ x-2*y$ , also $x\ =\ u+2*y$
$\ [mm] u^2+c*u-[y^2-(2*c+d)*y]+5\ [/mm] =\ 0$
In u und in y quadratisch ergänzt:
$\ [mm] \left[u^2+c*u+\frac{c^2}{4}\right]-\left[y^2-(2*c+d)*y+(c+\frac{d}{2})^2\right]\ [/mm] =\ [mm] \frac{c^2}{4}-(c+\frac{d}{2})^2-5$
[/mm]
$\ [mm] \left[u+\frac{c}{2}\right]^2-\left[y-(c+\frac{d}{2})\right]^2\ [/mm] =\ [mm] -\,\frac{1}{4}*\left(3c^2+4\,c\,d+d^2+20\right)$
[/mm]
Jetzt kann man klar sehen, dass als Typ des Kegelschnitts
im u-y-System nur die Hyperbel oder deren ausgeartete Form,
das Geradenpaar, in Frage kommt. Bei der Rücktransformation
ins x-y-System ändert sich am Typ des Kegelschnitts nichts.
Bleibt die Frage, unter welchen Umständen die Ausartung zum
Geradenpaar erfolgt. Dies ist natürlich genau dann der Fall,
wenn die rechte Seite der letzten Gleichung verschwindet,
also falls $\ [mm] 3c^2+4\,c\,d+d^2+20\ [/mm] =\ 0$
Mit den Eigenwerten, Eigenvektoren und Wurzeltermen
musste man sich in dieser Betrachtung jetzt überhaupt
nicht herumschlagen.
LG Al-Chw.
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