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| Aufgabe | | Bringen sie folgende ebene Quadrik durch Substitution xx[mm]x=f(y)=Sy+v\ mit\ S\inSo_2(\IR) \ ,v\in\IR^2\ in\ Notmalenform\\
\
Q: 4x_1^2-24x_1x_2+36x_2^2-33\wurzel{10}x_1+69\wurzel{10}x_2+210=0[/mm] |
Ich habe die orthogonale Matrix S schon berechnet und zwar ergibt sie
[mm]S=1/\wurzel{10}\pmat{ 3 & 1 \\
1 & -3 } [/mm]
In den Spalten stehen die Eigenvektoren, die dann normiert zu einer Orthonormalbasis.
Jetzt haperts bei mir mit der Substitution: [mm]x=f(y)=Sy+v[/mm]
[mm](Sy+v)^TA(Sy+v)+B(Sy+v)+c
\gdw (Sy+v)^T(ASy+Av)+B(Sy+v)+c
\gdw y^TS^TASy+y^TS^TAv+v^TASy+v^TAv++B(Sy+v)+c
[/mm]
Ich verstehe einfach nicht, was ich mit dem v machen soll. In anderen Aufgaben hatten wir nur die Substitution Sy ohne dem v.
In der Vorlesung haben wir das leider auch nicht näher angesprochen, es hieß nur, dass wir dann ein A^´ haben, dass v schon enthält, aber nicht konkret, was es ist.
Vielen dank
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Hallo martinmax1234,
> Bringen sie folgende ebene Quadrik durch Substitution
> xx[mm]x=f(y)=Sy+v\ mit\ S\inSo_2(\IR) \ ,v\in\IR^2\ in\ Notmalenform\\
\
Q: 4x_1^2-24x_1x_2+36x_2^2-33\wurzel{10}x_1+69\wurzel{10}x_2+210=0[/mm]
>
> Ich habe die orthogonale Matrix S schon berechnet und zwar
> ergibt sie
> [mm]S=1/\wurzel{10}\pmat{ 3 & 1 \\
1 & -3 }[/mm]
>
> In den Spalten stehen die Eigenvektoren, die dann normiert
> zu einer Orthonormalbasis.
>
> Jetzt haperts bei mir mit der Substitution: [mm]x=f(y)=Sy+v[/mm]
>
> [mm](Sy+v)^TA(Sy+v)+B(Sy+v)+c
\gdw (Sy+v)^T(ASy+Av)+B(Sy+v)+c
\gdw y^TS^TASy+y^TS^TAv+v^TASy+v^TAv++B(Sy+v)+c
[/mm]
>
Normalerweise könntest Du jetzt aus
[mm]y^{T}S^{T}Av+v^{T}ASy+BSy=0[/mm]
den Translationsvektor v ermitteln.
Nun ist es aber so, daß die Determinante von A verschwindet.
Das heißt, es gibt unendlich viele Translationsvektoren v.
Dann musst Du den Translationsvektor nach irgendeinem
Kriterium ermitteln.
>
> Ich verstehe einfach nicht, was ich mit dem v machen soll.
> In anderen Aufgaben hatten wir nur die Substitution Sy ohne
> dem v.
> In der Vorlesung haben wir das leider auch nicht näher
> angesprochen, es hieß nur, dass wir dann ein A^´ haben,
> dass v schon enthält, aber nicht konkret, was es ist.
>
> Vielen dank
>
Gruss
MathePower
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Find ich echt seltsam, weil ich noch nie was von Translationsvektoren bzw. in der vorlesung kriterien dafür bekommen haben. Kannst du mir das bitte mal erklären, auch das mit der determinate von A, was die über den translationsvektor aussagt. Über wieter quellen wo ich das mal nachholen könnte wäre ich dankbar, da ich selbst nichts drüber im netz gefunden habe
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Hallo martinmax1234,
> Find ich echt seltsam, weil ich noch nie was von
> Translationsvektoren bzw. in der vorlesung kriterien dafür
> bekommen haben. Kannst du mir das bitte mal erklären, auch
> das mit der determinate von A, was die über den
> translationsvektor aussagt. Über wieter quellen wo ich das
> mal nachholen könnte wäre ich dankbar, da ich selbst
> nichts drüber im netz gefunden habe
>
Aus der Gleichung
[mm][mm] \blue{y^{T}S^{T}Av}+v^{T}ASy+BSy=0[/mm] [mm]
erhältst Du nach Umformungen:
[mm][mm] \blue{v^{T}ASy}+v^{T}ASy+BSy=0[/mm] [mm]
[mm]\gdw 2*v^{T}ASy+BSy=0[/mm]
Daraus ergibt sich für alle y die Gleichung
[mm]\gdw 2*v^{T}AS+BS=\vec{0}^{T}[/mm]
Diese Gleichung ist nach [mm]v^{T}[/mm] auflösbar,
wenn die Determinante von AS von Null verschieden ist.
Nach dem Determinantenmultiplikationssatz beschränkt sich
die Auflösbarkeit auf die Determinante der Matrix A.
Ist diese Determinante 0, dann benötigst Du irgendein Kriterium,
nach dem Du den Translationsvektor festlegen kannst.
Ein solches Kriterium kann z.B. sein, daß der Betrag des
Translationsvektors minimal werden soll.
Gruss
MathePower
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Vielen dank für deine Antwort. habe noch zwei Fragen.
In Internet habe ich gelesen, dass ich ja zunächst x=Sy Substitutiere und danach y=Sz+v setzte. das erinnert mich im zweiten Schritt an eine quadratische Ergänzung, um die lineare Teile zu eliminieren.
Ist Translation und quadratische Ergänzung das gleiche???
Wäre dann v mein Translationsvektor???
Vielen dank nochmal.
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Hallo martinmax1234,
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> Vielen dank für deine Antwort. habe noch zwei Fragen.
> In Internet habe ich gelesen, dass ich ja zunächst x=Sy
> Substitutiere und danach y=Sz+v setzte. das erinnert mich
> im zweiten Schritt an eine quadratische Ergänzung, um die
> lineare Teile zu eliminieren.
Hier meinst Du wohl:
1. Schritt: x=Sy
2. Schritt: y=z+v
>
> Ist Translation und quadratische Ergänzung das gleiche???
Bei einem Kegelschnitt (allgemine Gleichung 2. Grades hier in x,y)
ist Translation gleichbedeutend mit quadratischer Ergänzung.
> Wäre dann v mein Translationsvektor???
>
> Vielen dank nochmal.
>
Gruss
MathePower
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