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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:08 So 28.03.2010 | | Autor: | dr_geissler |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Normalform der Quadrik,
[mm] $\mathcal{Q}(x)=\{x\in \IR^{3} | \bruch{1}{2} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\bruch{1}{2} x_{3}^{2}+ x_{1}x_{3}+ 2x_{2}-1=0\} [/mm] |
Ich weiß, dass
[mm] $x^{t}Sx [/mm] = [mm] \mathca{Q}(x)$ [/mm] ist.
Ich komme aber nicht aufd meine Matrix S.
Ich dachte immer S sehe folgendermaßen aus.
$S= [mm] \pmat{ x_{1}^{2} & x_{1}x_{2} & x_{1}x_{3}\\ x_{1}x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}x_{3} \\ x_{1}x_{3} & x_{2}x_{3} & x_{3}^{2}}$
[/mm]
Aber irgendwie passen die Quadrik da nicht drauf.
Wo liegt mein Fehler?
Wie geh ich weiter vor?
Ich muss doch den Eigenraum zu S bestimmen, oder?
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> Bestimmen Sie die Normalform der Quadrik,
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> [mm]$\mathcal{Q}(x)=\{x\in \IR^{3} | \bruch{1}{2} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\bruch{1}{2} x_{3}^{2}+ x_{1}x_{3}+ 2x_{2}-1=0\}[/mm]
Hallo,
das passende Stichwort ist "Hauptachsentransformation".
Ein Beispiel ist u.a. ![[]](/images/popup.gif) hier vorgerechnet,
ich denke, daß es Dir helfen wird.
Gruß v. Angela
>
> Ich weiß, dass
>
> [mm]x^{t}Sx = \mathca{Q}(x)[/mm] ist.
>
>
> Ich komme aber nicht aufd meine Matrix S.
>
> Ich dachte immer S sehe folgendermaßen aus.
>
> [mm]S= \pmat{ x_{1}^{2} & x_{1}x_{2} & x_{1}x_{3}\\ x_{1}x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}x_{3} \\ x_{1}x_{3} & x_{2}x_{3} & x_{3}^{2}}[/mm]
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> Aber irgendwie passen die Quadrik da nicht drauf.
>
> Wo liegt mein Fehler?
> Wie geh ich weiter vor?
>
> Ich muss doch den Eigenraum zu S bestimmen, oder?
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Das hab ich mir fast gedacht.
Aber bei dem beispiel das vorgerechnet wird, lässt sich die S durch ablesen der Faktoren bestimmen.
In meiner Quadrik fehlen aber zum beispiel [mm] x_{1}x_{2}.
[/mm]
Deshalb kann ich nicht S bestimmen.
Verstehst Du mein Problem?
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> Das hab ich mir fast gedacht.
>
> Aber bei dem beispiel das vorgerechnet wird, lässt sich
> die S durch ablesen der Faktoren bestimmen.
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> In meiner Quadrik fehlen aber zum beispiel [mm]x_{1}x_{2}.[/mm]
Wenn's weiter nichts ist! Schreib sie halt dazu: [mm] ...+0x_1x_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Deshalb kann ich nicht S bestimmen.
>
>
> Verstehst Du mein Problem?
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Und was mach ich mit der verlorenen [mm] x_{2}?
[/mm]
schreib ich da [mm] $0*x_{1} 1*x_{2}$ [/mm] ?
Wie sieht denn zur meiner Quadrik die Matrix S aus ??
Ich weiß hier keut man nicht gerne jemandem das Ergebnis vor, aber ich komme so nicht weiter.
Ich muss noch zwei andere normalisieren, die ungefähr genauso doof aussehen.
Danke
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> Und was mach ich mit der verlorenen [mm]x_{2}?[/mm]
???
Wo ist die verloren?
> > > $ [mm] $\mathcal{Q}(x)=\{x\in \IR^{3} | \bruch{1}{2} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\bruch{1}{2} x_{3}^{2}+ x_{1}x_{3}+ 2x_{2}-1=0\} [/mm] $
=$ [mm] $\mathcal{Q}(x)=\{x\in \IR^{3} | \bruch{1}{2} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+0*x_1x_2+\bruch{1}{2} x_{3}^{2}+ x_{1}x_{3}+ 0*x_1+2x_{2}+0*x_3-1=0\} [/mm] $.
Nun ist alles da!
> Wie sieht denn zur meiner Quadrik die Matrix S aus ??
Auf der Diagonalen die Koeffizienten der Quadrate, und an den anderen Plätzen jeweils 0.5*der entsprechende Koeffizient.
Gruß v. Angela
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> Ich weiß hier keut man nicht gerne jemandem das Ergebnis
> vor, aber ich komme so nicht weiter.
> Ich muss noch zwei andere normalisieren, die ungefähr
> genauso doof aussehen.
>
> Danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 So 28.03.2010 | | Autor: | Kleine88 |
Die Matrix hat dann nur Zahlen als Eintrag oder? Nur was hat das -1 am ende der quadrike für ne bedeutung?
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Hallo Kleine88,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Matrix hat dann nur Zahlen als Eintrag oder? Nur was
> hat das -1 am ende der quadrike für ne bedeutung?
>
Das Absolutglied (hier -1) entscheidet über die Art der Mittelpunktsquadrik.
Mehr dazu in diesem Artikel.
Gruss
MathePower
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