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Quadrik: idee, tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 So 26.04.2009
Autor: Kinghenni

Aufgabe
Bringen Sie die unten angegebenen Quadriken in die Form
Q = {z [mm] \in \IR^n [/mm] | [mm] \mu_{1}z_{1}^2+ \mu_{2}z_{2}^2+ [/mm] · · · + [mm] \mu_{n}z_{n}^2+ [/mm]  c = 0}.

Q = {x [mm] \in \IR^2 |x^T \pmat{ -1 & -3 \\ -3 & 1 }x+\vektor{2 \\ 2}^Tx+\bruch{1}{2}=0} [/mm]

also ich hab angefangen die eigenwerte auszurechnen (=2/-4)
danach die eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm]
aber jetzt komm ich schon nicht mehr weiter

        
Bezug
Quadrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 So 26.04.2009
Autor: MathePower

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Kinghenni,



> Bringen Sie die unten angegebenen Quadriken in die Form
>  Q = {z [mm]\in \IR^n[/mm] | [mm]\mu_{1}z_{1}^2+ \mu_{2}z_{2}^2+[/mm] · · · +
> [mm]\mu_{n}z_{n}^2+[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  c = 0}.

>  
> Q = {x [mm]\in \IR^2 |x^T \pmat{ -1 & -3 \\ -3 & 1 }x+\vektor{2 \\ 2}^Tx+\bruch{1}{2}=0}[/mm]
>  
> also ich hab angefangen die eigenwerte auszurechnen
> (=2/-4)


Demnach lautet Q:

[mm]x^T \pmat{ -1 & -3 \\ -3 & \red{-}1 }x+\vektor{2 \\ 2}^Tx+\bruch{1}{2}=0}[/mm]


>  danach die eigenvektoren [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>  
> aber jetzt komm ich schon nicht mehr weiter


Jetzt hast Du eine Transformation bestimmt, die aus der Matrix

[mm]\pmat{ -1 & -3 \\ -3 & -1 }[/mm]

eine Diagonalmatrix macht.

Dabei ist die Transformation

[mm]x=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1}x'[/mm]

zur Anwendung gekommen.

Setze also die Transformation in die Ausgangsgleichung ein,
dann erhältst Du eine neue Gleichung, bei der die linearen Glieder
durch eine Translation zu eliminieren sind.


Gruß
MathePower

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