Quadratzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Fr 14.11.2008 | | Autor: | mrbraker |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Eine Zahl der Form $1 + 4 + [mm] 4^2 [/mm] + [mm] 4^3 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 4^n$ [/mm] ist für $n [mm] \ge [/mm] 1$ niemals eine Quadratzahl. |
Hi,
ich bräuchte bitte einen Lösungsansatz, am besten mit Erklärungen.
Ich kam jetzt erst durchs Losverfahren ins Studium und das ist meine erste Übungsaufgabe!!!
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte!!!
Danke im Voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zur Veranschaulichung: die ersten Zahlen dieser Form sind 1,5,21,85,341,1365,6561...
Die vorgestellte Reihe ist eine geometrische, also [mm] a_{n+1}=q*a_{n} [/mm] mit [mm] a_1=1, [/mm] q=4. Ihre Summe bis zum n-ten Glied ist, wie Du aus der Schulmathematik sicher noch weißt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_i=a_1*\bruch{q^n-1}{q-1}=\bruch{1}{3}(q^n-1)
[/mm]
Es gebe nun ein k, so dass gilt [mm] k^2=\bruch{1}{3}(q^n-1)
[/mm]
umgeformt: [mm] 3k^2+1=4^n
[/mm]
Nun wissen wir, dass alle Summen ungerade sind [mm] (a_1=1 [/mm] ist ungerade, alle anderen [mm] a_n=4 [/mm] (n>1) sind gerade). Also muss auch k ungerade sein.
Nimm also an k=2m-1 und setz das oben ein. Rechne die Gleichung aus und kürze soweit wie möglich.
Und dann betrachte die beiden Gleichungsseiten - eine mit m, eine mit n - und schau mal, welchen Rest sie bei der Teilung durch 4 lassen.
Dazu wirst Du eine Fallunterscheidung machen müssen:
m lässt bei Teilung durch 4 den Rest 0, kurz: $ [mm] m\equiv0 [/mm] mod 4 $
und die drei anderen Fälle $ [mm] m\equiv1,2,3 [/mm] mod 4 $
Schau mal, was so passiert... Viel Erfolg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Fr 14.11.2008 | | Autor: | reverend |
Bei geschickter Darstellung kannst Du Dir übrigens zunutze machen, dass m(m+1) immer gerade ist, und Dir die ganze Fallunterscheidung schenken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 16.11.2008 | | Autor: | mrbraker |
Ich habe jetzt versucht die Gleichung auszurechnen, scheitere jedoch am letzten Schritt. Muss ich da die n-te Wurzel ziehen?
Ich weiß außerdem nichts mit dem Tipp anzufangen!!!
Danke
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Ok, ich rechne es Dir vor:
Es soll gelten: [mm] 3k^2+1=4^n [/mm] mit k=2m-1. Eingesetzt:
[mm] 4^n=3(2m-1)^2+1=3(4m^2-4m+1)+1=12m^2-12m+4
[/mm]
Einmal durch 4 teilen:
[mm] 4^{n-1}=3m^2-3m+1=3m(m-1)+1
[/mm]
Das aber kann für n>1 nie sein. Die linke Seite der Gleichung ist dann eine gerade Zahl, die rechte aber ungerade, weil m(m-1) immer gerade ist. Entweder m oder m-1 sind durch zwei teilbar.
Der Fall n=1 ist noch zu untersuchen, weil dann ja links [mm] 4^0 [/mm] steht, und das ist 1.
Du siehst leicht, dass dann m(m-1)=0 gelten muss, was zwei Lösungen hat:
[mm] m_1=0 \Rightarrow k_1=2m_1-1=-1\not\in\IN
[/mm]
[mm] m_2=1 \Rightarrow k_2=2m_2-1=1
[/mm]
- und das ist die einzige gültige Lösung. Dann schau aber auch nochmal auf die Aufgabe zurück, und siehe da, da ist n anders verwendet als in "meiner" Summenformel einer geometrischen Reihe. Für n=1 aus der Aufgabenstellung ergibt sich ja schon die Summe 5. Für dieses Ergebnis müsste ich in der Summenformel aber n=2 einsetzen. Die einzige Lösung ist also leider auch ungültig...
Dass n hier verschieden verwendet ist, ist ein Schönheitsfehler, an dem ich schuld bin. Aber so bleibt Dir ja noch, das alles nachzuvollziehen und auf eine einheitliche n-Zählung umzuschreiben, wie sich's gehört. Ich hoffe nur, der Weg ist Dir jetzt klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Mo 17.11.2008 | | Autor: | mrbraker |
hey danke, ich glaub jetzt hab ich es...
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