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| Aufgabe | Geben Sie die mathematische exakte Formulierung für
[mm] \wurzel{2+}\wurzel{2+}\wurzel{2+}\wurzel{...}=2 [/mm] an und beweisen sie die Gleichung. |
Also das ist die Aufgabe an der ich gerade sitze und ich habe schon einen Ansatz bei dem ich denke, dass er leider falsch ist und ihn somit auch nicht beweisen kann...
Also:
[mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_{1}=2 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\wurzel{1+a_{n}} [/mm] für [mm] n\in\IN
[/mm]
Ist der Ansatz richtig und kann man diesen dann mnit einer Induktion beweisen?
Vielen dank schon mal für eure Mühe.......
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Di 23.11.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
> Geben Sie die mathematische exakte Formulierung für
> [mm]\wurzel{2+}\wurzel{2+}\wurzel{2+}\wurzel{...}=2[/mm] an und
> beweisen sie die Gleichung.
> Also das ist die Aufgabe an der ich gerade sitze und ich
> habe schon einen Ansatz bei dem ich denke, dass er leider
> falsch ist und ihn somit auch nicht beweisen kann...
>
> Also:
>
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_{1}=2[/mm] und [mm]a_{n+1}=\wurzel{1+a_{n}}[/mm]
> für [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Ist der Ansatz richtig und kann man diesen dann mnit einer
> Induktion beweisen?
>
> Vielen dank schon mal für eure Mühe.......
Ich vermute, dass Deine Aufgabenstellung lautet:
[mm] $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=2$
[/mm]
Wenn dem so ist:
[mm] $x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$
[/mm]
Quadrieren und die 1. Gleichung von der 2. abziehen.
Dann x berechnen.
Viel Erfolg
Salve
Pappus
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Ja meine Aufgabenstellung heißt so,
[mm] \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=2 [/mm]
wusste nicht, dass man das so aufschreiben kann.
Hmm vielen Dank zunächst für die schnelle antwort.
Aber muss ich das denn nach x ausrechnen ich soll ja beweisen das die Formel gilt und nicht den wert von x oder verstehe ich das falsch?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 23.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematiklady!
Diese Aufgabe wurde bereits hier ausführlich(st) diskutiert.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Di 23.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hey,
also ich wär glaube ich wie folgt vorgegangen (für Richtigkeit übernehme ich aber keine Garantie...)
Erstmal hätte ich folgendes gesetzt:
[mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] a_0 [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] a_{n +1} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + a_n} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Also wäre die mathematisch exakte Formulierung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 2
Beweis:
Da [mm] a_{n+1}^2 [/mm] = 2 + [mm] a_n [/mm] gilt für den Grenzwert
[mm] a^2 [/mm] = 2 + a [mm] \gdw [/mm] (a [mm] -\bruch{1}{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
da (a- [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a=2
[mm] \Box
[/mm]
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