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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich habe mit der folgenden Aufgabe Probleme:
Sei V ein n-dim. Vektorraum und A:V->V nilpotent mit Nilpotenz-Index n.
Zeigen Sie: Es gibt keine lineare Abb. B:V->V mit B²=A.
Mir fehlt leider der Ansatz zu dieser Aufgabe. Welche Sätze etc. kann ich gebrauchen, um diese Aufgabe zu lösen?
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe.
Liebe Grüße, Conny.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Do 14.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Conny!
Dann wäre ja $B$ eine Matrix mit [mm] $B^{2n-2}=A^{n-1} \ne [/mm] 0$, aber [mm] $B^{2n}=A^n=0$, [/mm] d.h. $B$ wäre eine nilpotente Matrix vom Nilpotenzindex $2n-1$ oder $2n$.
Frage an dich: Geht das?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 14.07.2005 | | Autor: | Chlors |
nein das geht nicht, weil der Nilpotenzindex von B nur [mm] \le [/mm] n sein kann??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Do 14.07.2005 | | Autor: | Chlors |
"/le" sollte ein kleiner-gleich-Zeichen werden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Do 14.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo chlors!
Du mußt dann auch "\le" schreiben (nicht "/le") ...
Ich habe es bereits in Deinem Artikel korrigiert.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Do 14.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Chlors!
Ja, das ist richtig! Sei [mm] $A\in K^{n\times n}$ [/mm] eine nilpotente Matrix. Da jede nilpotente Matrix das charakteristische Polynom [mm] $x^n$ [/mm] hat, folgt aus dem Satz von Cayley-Hamilton, dass [mm] $A^n=0$ [/mm] gilt. Somit muss der Nilpotenzindex von $A$ kleiner gleich $n$ sein.
Liebe Grüße,
Hanno
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