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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Mi 03.06.2015 | | Autor: | Laubfee |
| Aufgabe | Sei d ∈ Z kein Quadrat. Zeigen Sie, dass sich jedes Element z ∈ Z[(Wurzel [mm] d)]\{0}, [/mm] das keine Einheit ist, in Z[(Wurzel d)] als Produkt von unzerlegbaren Elementen schreiben lässt.
(Hinweis: Als Beweismethode bietet sich eine Induktion über |N(z)| an.) |
Wir wissen:
-Z Einheit in Z[ d] ist -> N(z)= +1,-1 Einheit
folglich beginnen wir bei N(z)=2, da zwei Primzahl.
-ist N(z) Primzahl -> z ist unzerlegbar
Uns fehlt nun der Induktionsschritt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mi 03.06.2015 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Sei d ∈ Z kein Quadrat. Zeigen Sie, dass sich jedes
> Element z ∈ Z[(Wurzel [mm]d)]\{0},[/mm] das keine Einheit ist, in
> Z[(Wurzel d)] als Produkt von unzerlegbaren Elementen
> schreiben lässt.
> (Hinweis: Als Beweismethode bietet sich eine Induktion
> über |N(z)| an.)
> Wir wissen:
> -Z Einheit in Z[ d] ist -> N(z)= +1,-1 Einheit
> folglich beginnen wir bei N(z)=2, da zwei Primzahl.
> -ist N(z) Primzahl -> z ist unzerlegbar
Ja.
>
> Uns fehlt nun der Induktionsschritt?
Vermutlich lautet die Antwort "Ja". Ist Deine Frage damit beantwortet?
Sonst versuche den Induktionsschritt, indem Du eine Fallunterscheidung machst, ob $z$ selbst unzerlegbar ist oder nicht.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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