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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 So 18.12.2005 | | Autor: | zoe |
| Aufgabe 1 | | Kann die Summe von $5$ aufeinanderfolgenden Quadraten wieder eine Quadratzahl sein? |
| Aufgabe 2 | | Ist $3$ Teiler von [mm] $n^{2}+m^{2}$, [/mm] so teilt $3$ sowohl $n$ als auch $m$. |
Guten Abend liebe Community,
ich arbeite hier gerade in Elementarer Zahlentheorie und war mir unsicher, wo ich das plazieren sollte. Wenn es falsch ist, dann entschuldige ich mich im vornherein.
Mein Lösungsansatz bei Aufgabe 1:
[mm] n^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2 [/mm] =
[mm] 5n^2 [/mm] + 20 n + 30
Und nun weiß ich nicht, wie ich das begründen kann, dass das eben keine Quadratzahl ist.
Mein Lösungsansatz bei Aufgabe 2:
3 / [mm] n^2 [/mm] + [mm] m^2
[/mm]
3 / [mm] n^2 [/mm] und 3 / [mm] m^2
[/mm]
3 / n*n und 3 / m*m
=> 3 / n und 3 / m
Kommt mir aber ein bisschen "mager" vor.
Vielen Dank im voraus, wenn ihr mir helfen könnt.
Liebe Grüße von zoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mo 19.12.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Zoe!
> Kann die Summe von 5 aufeinanderfolgenden Quadraten wieder
> eine Quadratzahl sein?
> Ist 3 Teiler von [mm]n^{2}+m^{2},[/mm] so teilt 3 sowohl n als auch
> m.
> Guten Abend liebe Community,
> ich arbeite hier gerade in Elementarer Zahlentheorie und
> war mir unsicher, wo ich das plazieren sollte. Wenn es
> falsch ist, dann entschuldige ich mich im vornherein.
>
> Mein Lösungsansatz bei Aufgabe 1:
> [mm]n^2[/mm] + [mm](n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2[/mm] =
>
> [mm]5n^2[/mm] + 20 n + 30
>
> Und nun weiß ich nicht, wie ich das begründen kann, dass
> das eben keine Quadratzahl ist.
Wenn n gerade ist, sind [mm]5n^2[/mm] und 20n durch 4 teilbar und 30 läßt den Rest 2, also ist die Summe kongruent 2 mod 4, wenn n ungerade ist, ist die Summe kongruent 3 mod 4; Quadratzahlen sind aber kongruent 0 oder 1 mod 4.
> Mein Lösungsansatz bei Aufgabe 2:
>
> 3 / [mm]n^2[/mm] + [mm]m^2[/mm]
> 3 / [mm]n^2[/mm] und 3 / [mm]m^2[/mm]
> 3 / n*n und 3 / m*m
> => 3 / n und 3 / m
>
> Kommt mir aber ein bisschen "mager" vor.
Das ist es auch! Ich sehe überhaupt keine Logik in deinen 4 Zeilen. Am besten wieder mit Kongruenzen:
[mm]n^2[/mm] + [mm]m^2[/mm] [mm] \equiv [/mm] 0 mod 3 bedeutet
[mm]n^2[/mm] [mm] \equiv[/mm] [mm]-m^2[/mm]
Da Quadratzahlen immer kongruent 0 oder 1 mod 3 sind, bleibt nur kongruent 0.
> Vielen Dank im voraus, wenn ihr mir helfen könnt.
Da nich für!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Di 20.12.2005 | | Autor: | zoe |
Vielen lieben Dank - ich musste zwar schon gewaltig nachdenken, bis ich den Wegen folgen konnte, aber es wurde dann doch einsichtig.
Liebe Grüße von zoe
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Klammere doch die $5_$ aus und untersuche, ob man die Klammer als Quadrat bzw. Produkt (Stichwort: 
p/q-Formel