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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Sa 10.12.2005 | | Autor: | magi |
Guten Abend,
Mit diesem aufgabe komme ich nicht irgend wie weiter...
Aufgabe:
Wie heißt die Funktiongleichung der Tangente F(t) : y = mx + b , wenn ihr Schnittpunkt mit der Ordinaten bei Py(0 ; -9 1/2) liegt und die Funktionsgelichung der Parebel mit Fp: Y = x ^2 + 2x - 3 vorgegeben its?
Berechnen Sie den Berührungspunkt! Gibt es mehrere Lösungen ?
Ich habe diese aufgabe so berechenen...
F(t) : y = mx + b
Py(0 ; -9 1/2)
Py in F(t) einsetzen ... , Aber warum kann man das???
und die beide funktionen geliche setzen...
F(t) = Fp: Y = [mm] x^2 [/mm] + 2x - 3 ???
Kann jemand mir ausführlich erklären???
Ich danke Ihnen Im Voraus,
Mfg,
magi
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Hallo magi!
Du solltest versuchen, dir zu verbildlichen, was du tun sollst.
Du hast die Paralbel [mm] F_p [/mm] mit [mm] y=x^2+2x-3. [/mm] Ihr habt sicherlich durchgenommen, dass diese Parabel in jedem Punkt eine Tangente hat. Dein F(t) ist so eine Tangente, d.h. in irgendeinem dir unbekannten Punkt berührt sie die Parabel. Um diesen Punkt ausrechnen zu können, musst du erst einmal die Gleichung von F(t) herausbekommen. Eine Tangentengleichung hat die typische Form der Geraden y=mx+b, wobei du dir bildlich vorstellen kannst, dass m die Steigung der Geraden ist und b der Schnittpunkt mit der y-Achse. Jetzt musst du systematisch vorgehen:
1.) Du hast einen Punkt gegeben, der auf auf der Tangente liegt. D.h. die Gleichung muss stimmen, wenn du ihn in die Gleichung einsetzt. Deswegen darfst du [mm] P_y [/mm] in in F(t) einsetzen und erhältst somit den Wert für b. (-9,5=m*0+b [mm] \Rightarrow [/mm] b=-9,5)
2.) Jetzt fehlt dir immer noch m. Du liegst mit dem Einsetzen richtig, aber warum nimmst du da dann nicht einfach deine beiden Gleichungen??? Das y, das du da beim Einsetzen stehen hast, hilft dir doch nicht weiter. Du setzt [mm] F(x)=F_p [/mm] : [mm] mx-9.5=x^2+2x-3.
[/mm]
3.) Jetzt fällt auf, dass das immer noch nicht reicht. Du hast eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Jetzt brauchst du die erste Ableitung: Die Ableitung beschreibt die Tangentensteigung in jedem Punkt x, ist also genau das, was du brauchst. Also rechnest du [mm] F_p' [/mm] aus (hoffe, das habt ihr durchgenommen) und erhältst: y'=2x+2.
4.) Du hast jetzt die Steigung (also m) abhängig von x. Das ist genau das, was du haben möchtest, da in der oberen Gleichung (in 2.)) auch nur m und x auftauchen. Setze also in der Gleichung bei 2.) für "m" "2x+2" ein. Du erhältst: [mm] (2x+2)*x-9,5=x^2+2x-3.
[/mm]
5.) Durch Umformen bekommst du jetzt raus, dass [mm] x^2=6,5. [/mm] Dein Berührpunkt von Tangente und Parabel liegt also bei [mm] x=\wurzel{6,5}. [/mm] Jetzt kannst du den dazugehörigen y-Wert errechnen (setze dieses x in die Parabelgleichung ein) und dein m ebenfalls (setze x in die erste Ableitung ein.) Du erhältst also deinen Berührpunkt [mm] P_b=(~2,55;~8,6) [/mm] und deine Tangentengleichung y=7,1*x-9,5
6.) Zur Probe kannst du jetzt noch die y Werte vergleichen, die du erhältst, wenn du sie in deine Parabelgleichung (hast du schon: ~8,6) und in deine Tangentengleichung einsetzt (stimmt hier: auch ~8,6). Wenn die Werte übereinstimmen, hast du die Sicherheit, alles richtig gemacht zu haben,...
Hoffe, das war ausführlich genug, sonst gerne Rückfragen an mich
Gruß,
San
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Ähem... wunderbar... ist alles soweit richtig, auch wenn ich nicht weiß, was du gemacht hast... ;) Weise offenbar beträchtliche Lücken auf, was Diskriminanten und so was angeht :D...
Also: Du sollst doch den Berührpunkt und die Tangentengleichung aufstellen (hmm... du bekommst sogar zwei raus... wie steht das in der Aufgabenstellung???).
Du hast doch schon die x-werte des Berührpunkts. Die setzt du einfach in deine Parabelgleichung ein und bekommst dein dazugehöriges y raus. Und in der Tangentengleichung setzt du einfach statt deines m den Wert ein, den du eben für dieses m ausgerechnet hast. Durch die Probe gehst du sicher, dass du richtig liegst... Am konkreten Beispiel für [mm] x_1 [/mm] und [mm] m_1 [/mm] heißt das:
[mm] y_1=x_1^2+2*x_1-3=(-2,55)^2+2*(-2,55)-3\approx-1,6
[/mm]
deine dazugehörige Tangentengleichung lautet: [mm] y=m_1*x+b=(-3,1)*x-9,5
[/mm]
Jetzt kannst du wie gesagt noch die Probe machen und schauen, ob du, wenn du in die Tangentengleichung deinen [mm] x_1-Wert [/mm] einsetzt, auch denselben y-wert herausbekommst, wie bei der Parabelgleichung ebenfalls bei [mm] x_1 [/mm] (schließlich soll die Tangente die Parabel ja bei [mm] x_1 [/mm] berühren)
Also: [mm] y_1=(-3,1)*(-2,55)-9,5\approx-1,6.
[/mm]
Wunderbar,aufgabe richtig gelöst,fehlt nur noch derselbe vorgang für [mm] m_2 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Viel Spaß dabei...
... und ich werd bei Gelegenheit mal den Diskriminantenkram wiederholen...
Gruß,
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Mo 12.12.2005 | | Autor: | magi |
Danke Sanshine. 
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