Quadratische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | In der Gleichung x²+ px + q =0 sind p,q [mm] \in \IR [/mm] so zu bestimmen, dass p und q Lösungen dieser Gleichung sind. |
Hallo, diese Aufgabe stammt aus meinem Übungsheft, ich hab zwar die Lösung dazu aber irgvendie versteh ich hier nur Bahnhof.
Die Lösung ist:
p mal q = q [mm] \gdw [/mm] p = [mm] \bruch{q}{q}=1
[/mm]
p + q = -p [mm] \gdw [/mm] q = -2p
[mm] \gdw [/mm] p = 1 [mm] \wedge [/mm] q = -2
D.h., für q = -2 [mm] \not= [/mm] heißt die Gesuchte Gleichung x² + x -2 = 0.
Setzt man q = 0 voraus, so ist :
p + q = - p [mm] \gdw [/mm] 2p = 0 [mm] \gdwp [/mm] = 0
d.h. , für q = 0 heißt die gesuchte Gleichung x² = 0
ALso ich versteh, dass es nicht unbedingt normal ist das p und q Lösungen einer solchen Gleichung sind.
Mir is auch klar das hier der Satz des Vieta irgendwie mit drinhängt (da es ne Übungsaufgabe dazu ist) aber ansonsten verstehe ich garnicht was da vor sich geht.
Kann mir jemand diesen Vorgang in eine Sprache übersetzen die ich verstehe??
Danke im Voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 22.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die P-Q-Formel kennst du ja. Sie liefert dir ja gerade die (bis zu zwei) Lösungen einer Quadratischen Gleichung, wie du die hier hast, nennen wir sie mal [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}.
[/mm]
Dann gilt: [mm] x_{1}=-\bruch{p}{2}+\wurzel{\bruch{p²}{4}-q} [/mm] und
[mm] x_{2}=-\bruch{p}{2}-\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
Und jetzt sollen diese beiden Lösungen genau p und q sein, also [mm] x_{1}=p [/mm] und [mm] x_{2}=q [/mm] (evtl auch umgekehrt.)
Also soll gelten:
[mm] p=-\bruch{p}{2}+\wurzel{\bruch{p²}{4}-q} [/mm]
UND [mm] q=-\bruch{p}{2}-\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
Das sind zwei Gleichungen, aus denen du dann konkrete Werte für p und q ermitteln kannst.
Versuche also mal, folgendes Gleichungssystem zu lösen:
[mm] \vmat{p=-\bruch{p}{2}+\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}\\q=-\bruch{p}{2}-\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}}
[/mm]
Dazu noch der Ansatz: GL1-GL2 ergibt:
[mm] p-q=2*\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
Also:
[mm] \vmat{p=-\bruch{p}{2}+\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}\\q=-\bruch{p}{2}-\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{p=-\bruch{p}{2}+\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}\\p-q=2*\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}}
[/mm]
Kommst du jetzt erstmal weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo, erstmal danke für deine Hilfe, leider steig ich nich so ganz durch.
Die P-Q-Formel kenn ich also x1=p und x2=q kann ich schonmal nachvollziehen.
P= - [mm] \bruch{p}{2}+ \wurzel{(\bruch{p}{2})² - q}
[/mm]
und
q= - [mm] \bruch{p}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{(\bruch{p}{2})² -q}
[/mm]
Nun müsste ich laut Satz des Vieta durch x1+x2 = -p bekommen.
Also p + q = -p
Sieht dann bei mir so aus:
P= - [mm] \bruch{p}{2}+ \wurzel{(\bruch{p}{2})² - q}
[/mm]
+
q= - [mm] \bruch{p}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{(\bruch{p}{2})² -q}
[/mm]
p+q = - [mm] \bruch{p}{p}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
p+q= -p
[mm] \gdw
[/mm]
p+q = -1
Soweit richtig?
Nun müsste ich x1 mal x2 also p mal q
Und da steig ich nicht mehr durch wie nimmt man den ne Wurzel mit ner wurzel mal??
Theoretisch muss es so aussehen aber wie setzt man es um?
P= - [mm] \bruch{p}{2}+ \wurzel{(\bruch{p}{2})² - q}
[/mm]
mal
q= - [mm] \bruch{p}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{(\bruch{p}{2})² -q}
[/mm]
Danke nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Di 23.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst auch direkt einsetzen, das erspart einige Wurzelrechnungen.
Es soll ja gelten: P und Q lösen die Gleichung x²+px+q=0
Also muss gelten
[mm] \red{p}^{2}+p*\red{p}+q=0
[/mm]
und [mm] \red{q}^{2}+p*\red{q}+q=0
[/mm]
Also hast du:
[mm] \vmat{p²+p²+q=0\\q²+pq+q=0}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{2p²+q=0\\q²+pq+q=0}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{q=-2p²\\q²+pq+q=0}
[/mm]
Jetzt kannst du q=-2p² in die zweite Gleichung einsetzen:
Also
[mm] (-2p²)^{2}-p*2p²-2p²=0
[/mm]
[mm] \gdw 4p^{4}-2p³-2p²=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] p²(4p²-2p-p)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] p²=0 oder 4p²-2p-p=0
(Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist)
Kannst du jetzt daraus die Lösungen für p ermitteln? Wenn du diese hast, kannst du mit q=-2p² ja dann auch die Lösungen für q bestimmen.
Marius
|
|
|
| |
|
Ja ich glaube..
also wenn ich es richtig habe ist x1 = 0 und x2 = 0.
Ich glaub nur das der zweite Lösungsweg denn du aufgezeigt hast nicht der ist der gemeint war, denn wir sind über ² nie hinausgegangen.
Jedenfalls danke für deine Hilfe und schöne Feiertage.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Teile doch mal
$ [mm] \red{q}^{2}+p\cdot{}\red{q}+q=0 [/mm] $
durch q. Du mußt dabei aufpassen, daß in dem Fall q nicht =0 sein darf, aber das ist relativ egal, weil q=p=0 sowiso eine Lösung der Aufgabe ist.
Du bekommst $q+p+1=0_$ , was du nach q auflösen kannst und in die andere Gleichung, die vereinfacht [mm] $2p^2+q=0 [/mm] $ lautet, einsetzen kannst. Dann bekommst du eine schöne quadratische Formel, die du mit PQ-Formel lösen kannst. Du mußt nur aufpassen, daß du mit dem q der quad. Gleichung und der pq-Formel nicht durcheinander kommst. Zur Not ersetzt du in deiner Gleichung das p kurzzeitig durch x.
Und wenn du die Lösungen für p hast, bekommst du auch q raus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Windbeutel,
> In der Gleichung x²+ px + q =0 sind p,q [mm]\in \IR[/mm] so zu
> bestimmen, dass p und q Lösungen dieser Gleichung sind.
> Hallo, diese Aufgabe stammt aus meinem Übungsheft, ich hab
> zwar die Lösung dazu aber irgvendie versteh ich hier nur
> Bahnhof.
>
> Die Lösung ist:
>
> p mal q = q [mm]\gdw[/mm] p = [mm]\bruch{q}{q}=1[/mm]
> p + q = -p [mm]\gdw[/mm] q = -2p
Wir haben die Gleichung [mm] $x^2+px+q=0$ [/mm] und die beiden Lösungen [mm] $x_1=p$, $x_2=q$ [/mm] vorgegeben.
Mit dem Satz von Vieta [mm] ($x_1+x_2=-p$ [/mm] und [mm] $x_1*x_2=q$) [/mm] folgt dann (das hattest du glaube ich in einem späteren Post ja schon eingesehen):
I $p+q=-p$
II $p*q=q$
Aus der zweiten Gleichung folgt:
II $p*q=q$
[mm] $\gdw\ [/mm] p*q-q=0$
[mm] $\gdw\ [/mm] q(p-1)=0$
[mm] $\gdw\ [/mm] q=0$ oder $p=1$
$q=0$ in die erste Gleichung eingesetzt
$p+0=-p$
[mm] $\gdw\ [/mm] p=0$
Das ist also die erste Möglichkeit: [mm] $x^2+0x+0=0$ [/mm] bzw. [mm] $x^2=0$
[/mm]
Nun $p=1$ in die erste Gleichung eingesetzt:
$1+q=-1$
[mm] $\gdw [/mm] q=-2$
Das ist die zweite Möglichkeit: [mm] $x^2+1x-2=0$ [/mm] bzw. [mm] $x^2+x-2=0$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Do 25.12.2008 | | Autor: | Windbeutel |
Prima, danke jetzt hab ichs verstanden.
|
|
|
|
