Quadratische Gleichung in C II < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 So 20.10.2013 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | [mm] x^2-4x+7=0
[/mm]
Gleichung lösen, Scheitelpunkt der Parabel bestimmen. |
Hallo,
eine zugegeben vielleicht etwas doofe Frage, aber ich weiß nicht, wie ich die obige Gleichung in [mm] \IC [/mm] lösen soll.
Die angestrebten Ergebnisse sind
[mm] x_1,_2=2\pm\wurzel{3i}
[/mm]
Normalerweise würde man das ja nur einfach in die abc-Formel einsetzen zB und eine Lösung erhalten oder eben feststellen dass die Gleichung in [mm] \IR [/mm] nicht lösbar ist. Wie gehe ich da aber in den komplexen Zahlen damit um?
Was soweit klar ist, dass die Parabel nach oben offen ist und die x-Achse nicht schneidet. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Besten Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 20.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du rechnest erstmal ganz normal mit de ABC-Formel
Aus [mm] x^{2}-4x+7=0 [/mm] folgt, dass a=1, b=-4 und c=7.
Also ergibt sich:
[mm] x_{1;2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot7}}{2\cdot1}
[/mm]
[mm] =\frac{4\pm\sqrt{-12}}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{4\pm\sqrt{4\cdot(-3)}}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{4\pm2\sqrt{(-3)}}{2}
[/mm]
[mm] =2\pm\sqrt{-3}
[/mm]
Nun bedenke, dass [mm] i^{2}=-1, [/mm] also wird
[mm] 2\pm\sqrt{-3}
[/mm]
[mm] =2\pm\sqrt{(-1)\cdot3}
[/mm]
[mm] =2\pm\sqrt{i^{2}\cdot3}
[/mm]
[mm] =2\pm i\cdot\sqrt{3}
[/mm]
Für die Scheitelpunktform gehe wie üblich über die quadratische Ergänzung
[mm] $f(x)=x^{2}-4x+7$
[/mm]
[mm] $=x^{2}-2\cdot2\cdot [/mm] x+7$
[mm] $=x^{2}-2\cdot2\cdot x+2^{2}-2^{2}+7$
[/mm]
[mm] $=(x-2)^{2}-2^{2}+7$
[/mm]
[mm] $=(x-2)^{2}+3$
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 So 20.10.2013 | | Autor: | drahmas |
Alles klar, danke!
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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