Quadratische Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Mi 13.11.2013 | | Autor: | tommy987 |
| Aufgabe | Folgende Problemstellung:
ich habe diese Gleichung [mm] z^{2} [/mm] -7z + (13 - i) = 0 |
Beim Auflösen der quadratischen Gleichung bleibt mir immer noch das i unter der Wurzel über z1,2 = - [mm] \bruch{7}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{ -3/4 + i}
[/mm]
Wie kann man hier weitermachen?
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Hallo,
zunächst hast du einen Vorzeichenfehler drin, es muss
[mm] z_{1,2}=\bruch{7}{2}\pm\wurzel{-\bruch{3}{4}+i}
[/mm]
heißen.
Zu deiner eigentlichen Frage: zerlege mal die -3/4 geeignet, so dass du ein Binom erhältst.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 13.11.2013 | | Autor: | tommy987 |
Wie kann man ausschließlich aus -3/4 ein Binom formen?
lg,
Thomas
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Moin,
du darfst ja das $i$ nicht vergissen.
[mm] i-3/4=-1+1/4+i=(i+1/2)^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Mi 13.11.2013 | | Autor: | tommy987 |
Super, des Rätsels Lösung :)
Danke!!!
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super, des Rätsels Lösung :)
ja? Dann schreibe ich
[mm] $-3/4+i=(-i-1/2)^2\,,$
[/mm]
und nun?
Was hier gemacht worden ist:
[mm] $-3/4+i=\frac{1}{4}+2*\frac{1}{2}*i+i^2=(\tfrac{1}{2}+i)^2\,.$
[/mm]
Und wie kommt man auf die Idee? Ich hätte sie so nicht gehabt. Aber ich
habe Dir zwei elementarere Wege nahegelegt, bei denen man nichts
wirklich "sehen" muss, die insbesondere auch das obige Ergebnis enthalten.
(Denn per Definitionem ist "'die' Wurzel" einer komplexen Zahl alles andere
als eindeutig - anders, als im Reellen... Daher müßte man wohl eigentlich,
wenn man eine Zahl $r [mm] \ge 0\,$ [/mm] hat und [mm] "$\sqrt{r}$ [/mm] gefragt ist", tatsächlich hier
sagen, ob nun die Wurzel im Sinne der komplexen Zahlen oder die "normale",
also bgzl. der reellen Zahlen, gefragt ist. Denn für $r [mm] \in \IC$ [/mm] bedeutet doch
[mm] $\sqrt{r}$
[/mm]
nichts anderes als: Finde alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $z^2=r\,.$ [/mm] Für $r [mm] \ge 0\,$ [/mm] bedeutet
[mm] $\sqrt{r}$
[/mm]
aber eigentlich: Finde diejenige Zahl $x [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $x^2=r\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Folgende Problemstellung:
>
> ich habe diese Gleichung [mm]z^{2}[/mm] -7z + (13 - i) = 0
> Beim Auflösen der quadratischen Gleichung bleibt mir
> immer noch das i unter der Wurzel über z1,2 = -
> [mm]\bruch{7}{2}[/mm] +/- [mm]\wurzel{ -3/4 + i}[/mm]
naja, es wäre doch toll, wenn man die Lösungen [mm] $x_k+iy_k$ ($x_k,y_k \in \IR$) [/mm] der Gleichung
[mm] $(x_k+iy_k)^2=-\frac{3}{4}+i$
[/mm]
kennen würde...
Na - kannst Du sie berechnen? (Im Prinzip kann man sich denken, in
welchem Verhältnis sie zueinander stehen, da Du ja bzgl. der
Ausgangsgleichung gemäß des Fundamentalsatzes der Algebra weißt,
dass diese genau zwei komplexe Lösungen hat).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Berechne mal
[mm] $(1/2+i)^2$
[/mm]
Wieso kann man damit schon folgern, dass
[mm] $(1/2+i),\;(-1/2-i)$
[/mm]
die beiden Wurzeln von $i-3/4$ sind?
P.P.S. Das P.S. ist eigentlich mehr als Hinweis, wie Du Deine Lösung
kontrollieren kannst, gedacht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Folgende Problemstellung:
>
> ich habe diese Gleichung [mm]z^{2}[/mm] -7z + (13 - i) = 0
nebenbei: Du kannst auch
$z=x+iy$ mit $x,y [mm] \in \IR$
[/mm]
ansetzen und weiterrechnen. Am Ende bedenke halt:
Eine komplexe Zahl ist genau dann 0, wenn sowohl ihr Real- als auch
ihr Imaginärteil 0 ist. Damit bekommst Du ein (reelles) Gleichungssystem in
den Variablen $x,y [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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