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Hallo!
Ich bereite mich für die Nachhilfe morgen mit meinem Schüler vor, sitze nun aber an einer Aufgabe und komme nicht voran.
"Wenn man bei einem Würfel die Kantenlänge verdoppelt und noch um 1 cm vergrößert, so vergrößert sich seine Oberfläche um 576 Quadratzentimeter."
Kann man das bitte jemand erklären?!?!
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Di 22.06.2010 | | Autor: | rotespinne |
Ach so... bestimmt werden soll die ursprüngliche Kantenlänge.
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> Hallo!
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> Ich bereite mich für die Nachhilfe morgen mit meinem
> Schüler vor, sitze nun aber an einer Aufgabe und komme
> nicht voran.
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> "Wenn man bei einem Würfel die Kantenlänge verdoppelt und
> noch um 1 cm vergrößert, so vergrößert sich seine
> Oberfläche um 576 Quadratzentimeter."
>
> Kann man das bitte jemand erklären?!?!
>
> Danke!
Hallo,
wenn Du einen Würfel der Kantenlänge x cm hast, wie groß ist dann seine Oberfläche [mm] O_x? O_x= [/mm] ...
Jetzt nimm den neuen Würfel. Wie ist seine Kantenlänge?
Wie ist folglich seine Oberfläche O? [mm] \red{O}= [/mm] ...
Nun ist O um [mm] 576cm^2 [/mm] größer als [mm] O_x, [/mm] also [mm] \green{O}= [/mm] ...
Gleichsetzten von rot und grün liefert eine zu lösende quadratische Gleichung, deren Ergebnis die Kantenlänge des Würfels ist.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Naja, die Oberfläche eines "normalen" Würfels lässt sich ja mit der Formel: [mm] 6*a^{2} [/mm] berechnen. Die Kantenlänge ist hier a.
Bei dem "neuen" Würfel habe ich eine Kantenlänge von 2a+1cm. Oder?
Meine Oberfläche müsste dann... [mm] 6*2a^{2} [/mm] + 1cm sein. Oder hab ich jetzt einen Denkfehler?!?!?
Ich verstehe es nicht :/
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Hallo rotespinne,
> Hallo!
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> Naja, die Oberfläche eines "normalen" Würfels lässt sich
> ja mit der Formel: [mm]6*a^{2}[/mm] berechnen. Die Kantenlänge ist
> hier a. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei dem "neuen" Würfel habe ich eine Kantenlänge von
> 2a+1cm. Oder?
Aber lass mal die Einheit weg (oder schreibe sie überall dran, dh. entweder [mm] $2\cdot{}a [/mm] \ [mm] \text{cm} [/mm] \ + \ 1 \ [mm] \text{cm}$ [/mm] oder schöner $2a+1$)
> Meine Oberfläche müsste dann... [mm]6*2a^{2}[/mm] + 1cm sein.
> Oder hab ich jetzt einen Denkfehler?!?!?
Ja, hast du!
Wenn du die "neue" Kantenlänge mit b bezeichnest, so ist doch die Oberfläche wie oben [mm] $6\cdot{}b^2$
[/mm]
Nun ist $b=2a+1$
Also [mm] $O_{\text{neu}}=6\cdot{}b^2=6\cdot{}(2a+1)^2=\ldots$
[/mm]
Und die ist um soundsoviel größer als die des ursprünglichen Würfels, also ...
>
> Ich verstehe es nicht :/
Doch!
Gruß
schachuzipus
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Ok, vielen Dank. Soweit kam ich jetzt mit :)
Aber... wie bringe ich jetzt die 576 Quadratzentimeter noch ein? Die müssen ja auch noch irgendwie ins Spiel kommen...?
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Hallo nochmal,
> Ok, vielen Dank. Soweit kam ich jetzt mit :)
> Aber... wie bringe ich jetzt die 576 Quadratzentimeter
> noch ein? Die müssen ja auch noch irgendwie ins Spiel
> kommen...?
Na klar doch.
Du hast den neuen Oberflächeninhalt, der ist ...
Und der alte ist [mm] $6a^2$
[/mm]
Der neue ist $576 \ [mm] \text{cm}^2$ [/mm] größer.
Dh. wenn du auf den alten ... packst, hast du den neuen.
Das ist aber jetzt genug mit dem Zaun gewunken ...
Nun, was bekommst du?
LG
schachuzipus
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Also, die zu lösende Gleichung ist:
[mm] 6*(2a+1)^{2} [/mm] = [mm] 6*a^{2} [/mm] + 576 [mm] cm^{2}
[/mm]
Jetzt auflösen, dann bekomme ich:
[mm] 24a^{2}+24a+6 [/mm] = [mm] 6a^{2} [/mm] + [mm] 576cm^{2}
[/mm]
Umstellen ergibt
[mm] 18a^{2}+24a+6= 576cm^{2}
[/mm]
Dividieren durch 18
[mm] a^{2}+\bruch{4}{3}a+\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] 32cm^{2}
[/mm]
Soweit richtig??
Nun müsste ich eigentlich mit der quadratischen Ergänzung weiterarbeiten, glaube ich... aber ich weiß nicht mehr, wie das geht...
Könntest Du mir da nochmal auf die Sprünge helfen?
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Hallo rotespinne,
falls der Vietasche Wurzelsatz (die Lösung quadratischer Gleichungen), also die p/q-Formel oder meinetwegen die verwandte Mitternachtsformel noch nicht bekannt sind, ist die quadratische Ergänzung hier in der Tat gut:
> [mm]a^{2}+\bruch{4}{3}a+\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]32cm^{2}[/mm]
(Habe ich noch nicht nachgerechnet, aber das Ergebnis ist "glatt". Die Einheitenangabe ist hier wirklich unsinnig! Lass sie weg, Hauptsache Du weißt dann, dass Du in [cm] rechnest.)
> Nun müsste ich eigentlich mit der quadratischen Ergänzung
> weiterarbeiten, glaube ich... aber ich weiß nicht mehr,
> wie das geht...
> Könntest Du mir da nochmal auf die Sprünge helfen?
[mm] a^{2}+\bruch{4}{3}a+\bruch{1}{3}=a^2+2*\bruch{2}{3}a+\left(\bruch{2}{3}\right)^2-\left(\bruch{2}{3}\right)^2+\bruch{1}{3}=32
[/mm]
[mm] \gdw \left(a+\bruch{2}{3}\right)^2=32+\bruch{4}{9}-\bruch{1}{3}=\bruch{289}{9}=\left(\bruch{17}{3}\right)^2
[/mm]
[mm] \cdots
[/mm]
Ab hier kannst Du sicher allein weiter. Es gibt nur eine positive Lösung.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 22.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
um Dich selbst vll. ein wenig zu informieren, kannst Du auch gerne mal diesen Link durcharbeiten. Ich hoffe, es hilft beim Verständnis der pq-Formel bzw. der quadratischen Ergänzung.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Di 22.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
guter Link.
Wo markiert man eine Antwort doch gleich als Musterantwort?
So ausführlich will ich ja gar nicht jedesmal schreiben, schon gar nicht, wenn es die Erläuterung gibt, wie hier die von Marcel.
Rückfragen sind natürlich trotzdem willkommen.
Grüße
reverend
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