Quadratische Gleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Man beweise, dass jede quadratische Gleichung [mm] z^2+az+b=0, a,b\in\IC, [/mm] genau eine oder genau zwei komplexe Lösungen besitzt.
(Die Existenz der Quadratwurzel aus einer reellen positiven Zahl kann als bekannt vorausgesetzt werden.) |
Hallo zusammen!
Ich habe hier eine Aufgabe, zu der wir an der Uni eine Lösung bekommen haben.
Allerdings kann ich mit der Lösung rein gar nix anfangen.
Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen?
Hier erstmal die Lösung:
Lösung
[mm] (z+\bruch{a}{2})^2-\bruch{a^2}{4}+b=0 [/mm] (Quadratische Ergänzung)
[mm] \gdw w^2=c [/mm] (*), wobei [mm] w=(z+\bruch{a}{2}) [/mm] und [mm] c=\bruch{a^2}{4}+b
[/mm]
Für c=0 hat (*) genau eine Lösung.
[mm] c\not=0:
[/mm]
[mm] c=|c|*e^{i\phi}, \phi=arg(c)
[/mm]
[mm] w_{1/2}=\pm\wurzel{|c|}*e^{\bruch{i\phi}{2}}
[/mm]
Fragen
Also auf die quadratische Ergänzung komme ich auch.
Ich erhalte aus [mm] z^2+az+b=0 [/mm] dann [mm] z^2+az+(\bruch{a}{2})^2-(\bruch{a}{2})^2+b=0 [/mm] und damit [mm] (z+\bruch{a}{2})^2-\bruch{a^2}{4}+b=0
[/mm]
So, wenn ich jetzt den Kram mit c und w mal weglasse (unsere Tutoren sind immer sehr schreibfaul...), dann soll mir der erste Fall ja sagen, dass wenn [mm] \bruch{a^2}{4}+b [/mm] gleich Null ist, dass ich dann genau eine Lösung habe.
Dem kann ich nicht ganz folgen.
Also auf jeden Fall hätte ich ja schonmal eine doppelte Nullstelle, und dass sind für mich zwei Nullstellen und nicht eine.
Und zum anderen weiß ich nicht, wie ich die berechnen soll.
Ich könnte die Wurzel ziehen, aber ich weiß nicht, ob ich das darf.
Ich darf ja nur die Wurzel aus einer reellen positiven Zahl als bekannt voraussetzen.
Damit kann ich in der Formel [mm] (z+\bruch{a}{2})^2=0 [/mm] nicht mal die Wurzel aus der 0 ziehen, weil 0 zwar reell, aber ja nicht positiv ist.
Und was ist mit [mm] (z+\bruch{a}{2})^2?
[/mm]
Wie soll ich daraus die Wurzel ziehen?
In der Klammer stehen nur komplexe Zahlen, und dafür ist mir nichts als bekannt gegeben.
Und mit dem Fall [mm] \bruch{a^2}{4}+b [/mm] ungleich Null kann ich überhaupt nicht anfangen.
Was wird da genau gemacht (abgesehen vom umschreiben der komplexen Zahl c)?
Es sieht mir irgendwie nach pq-Formel aus wegen dem [mm] \pm [/mm] in der Lösung, aber ich komme da beim besten Willen nicht drauf... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
LG, Nadine
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> Man beweise, dass jede quadratische Gleichung [mm]z^2+az+b=0, a,b\in\IC,[/mm]
> genau eine oder genau zwei komplexe Lösungen besitzt.
> (Die Existenz der Quadratwurzel aus einer reellen
> positiven Zahl kann als bekannt vorausgesetzt werden.)
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe hier eine Aufgabe, zu der wir an der Uni eine
> Lösung bekommen haben.
> Allerdings kann ich mit der Lösung rein gar nix anfangen.
> Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen?
>
> Hier erstmal die Lösung:
>
>
>
> Lösung
>
> [mm](z+\bruch{a}{2})^2-\bruch{a^2}{4}+b=0[/mm] (Quadratische
> Ergänzung)
>
> [mm]\gdw w^2=c[/mm] (*), wobei [mm]w=(z+\bruch{a}{2})[/mm] und
> [mm]c=\bruch{a^2}{4}+b[/mm]
>
> Für c=0 hat (*) genau eine Lösung.
>
> [mm]c\not=0:[/mm]
>
> [mm]c=|c|*e^{i\phi}, \phi=arg(c)[/mm]
>
> [mm]w_{1/2}=\pm\wurzel{|c|}*e^{\bruch{i\phi}{2}}[/mm]
>
>
>
> Fragen
>
> Also auf die quadratische Ergänzung komme ich auch.
>
> Ich erhalte aus [mm]z^2+az+b=0[/mm] dann
> [mm]z^2+az+(\bruch{a}{2})^2-(\bruch{a}{2})^2+b=0[/mm] und damit
> [mm](z+\bruch{a}{2})^2-\bruch{a^2}{4}+b=0[/mm]
>
> So, wenn ich jetzt den Kram mit c und w mal weglasse
> (unsere Tutoren sind immer sehr schreibfaul...), dann soll
> mir der erste Fall ja sagen, dass wenn [mm]\bruch{a^2}{4}+b[/mm]
> gleich Null ist, dass ich dann genau eine Lösung habe.
>
> Dem kann ich nicht ganz folgen.
> Also auf jeden Fall hätte ich ja schonmal eine doppelte
> Nullstelle, und dass sind für mich zwei Nullstellen und
> nicht eine. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Tatsächlich hat jede quadratische Gleichung in [mm] \IC [/mm] genau
2 Nullstellen, wenn man sie in ihrer Vielheit zählt. Hier macht dein Prof mal eine Ausnahme und unterscheidet: Bei einer doppelten Nullstelle habe ich nur eine, sonst zwei verschiedene Nullstellen.
> Und zum anderen weiß ich nicht, wie ich die berechnen
> soll.
Aus [mm] (z+\bruch{a}{2})^2=0 [/mm] folgt nur die Lösung [mm] z+\bruch{a}{2}=0 [/mm] und damit [mm] z=-\bruch{a}{2}.
[/mm]
>
> Ich könnte die Wurzel ziehen, aber ich weiß nicht, ob ich
> das darf.
> Ich darf ja nur die Wurzel aus einer reellen positiven
> Zahl als bekannt voraussetzen.
Ja, Wurzel aus 0 ist aber 0.
> Damit kann ich in der Formel [mm](z+\bruch{a}{2})^2=0[/mm] nicht
> mal die Wurzel aus der 0 ziehen, weil 0 zwar reell, aber ja
> nicht positiv ist.
>
Das meint dein Prof. nicht so genau, die 0 hat er einfach vergessen; er will nur negative Zahlen vermeiden.
> Und was ist mit [mm](z+\bruch{a}{2})^2?[/mm]
> Wie soll ich daraus die Wurzel ziehen?
Das sollst du gar nicht, s. u.
> In der Klammer stehen nur komplexe Zahlen, und dafür ist
> mir nichts als bekannt gegeben.
>
> Und mit dem Fall [mm]\bruch{a^2}{4}+b[/mm] ungleich Null kann ich
> überhaupt nicht anfangen.
> Was wird da genau gemacht (abgesehen vom umschreiben der
> komplexen Zahl c)?
> Es sieht mir irgendwie nach pq-Formel aus wegen dem [mm]\pm[/mm] in
> der Lösung, aber ich komme da beim besten Willen nicht
> drauf...
Umstellen der quadratischen Gleichung führt auf
[mm](z+\bruch{a}{2})^2[/mm]=[mm]\bruch{a^2}{4}-b[/mm] ungleich Null.
Der Einfachheit schreibst du jetzt mal [mm] \omega=z+\bruch{a}{2} [/mm] und [mm] c=\bruch{a^2}{4}-b [/mm] NICHT [mm] c=\bruch{a^2}{4}+b, [/mm] vor b muss ein - stehen.
Nun suchst du also eine Lösung für [mm] \omega^2=c \not=0
[/mm]
Dazu musst du die Wurzel aus der komplexen Zahl c, nicht aus [mm] \omega [/mm] ziehen, wie du oben angenommen hast. Wie geht das nun?
Du zerlegst [mm] \omega [/mm] in [mm] \omega=\omega_x+i\omega_y [/mm] und c in [mm] c=c_x+ic_y, [/mm] wobei du c kennst, [mm] \omega [/mm] aber gar nicht. Dabei sind nun die einzelnen Komponenten reell (natürlich nicht das i).
Du weißt [mm] aber:\omega^2=c, [/mm] also [mm] (\omega_x+i\omega_y)^2=c_x+ic_y.
[/mm]
Das gibt ausgerechnet [mm] \omega_x^2+2i\omega_x\omega_y-\omega_y^2=c_x+ic_y.
[/mm]
Also ist [mm] \omega_x^2-\omega_y^2=c_x [/mm] und
2 [mm] \omega_x\omega_y=c_y
[/mm]
Dieses Gleichungssystem musst du nun lösen. Du erhältst 2 Lösungen. Danach kennst du [mm] \omega. [/mm] Nun setzt du wieder [mm] \omega=z+\bruch{a}{2} [/mm] und löst nach z auf.
Wie löst man das Gleichungssystem?
Die 2. Gleichung löst man nach [mm] \omega_x [/mm] oder [mm] \omega_y [/mm] auf und setzt das in die 1. Gleichung ein. Du erhältst einen Bruch und erweiterst das Ganze mit dem Nenner. Das gibt eine biquadratische Gleichung mit 2 Lösungen.
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> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 05.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo HJKweseleit!
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
> Aus [mm](z+\bruch{a}{2})^2=0[/mm] folgt nur die Lösung
> [mm]z+\bruch{a}{2}=0[/mm] und damit [mm]z=-\bruch{a}{2}.[/mm]
Aber um von [mm] (z+\bruch{a}{2})^2=0 [/mm] auf [mm] z+\bruch{a}{2}=0 [/mm] zu kommen, muss ich doch auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die Wurzel ziehen, oder nicht?
So haben wir das zumindest in der Schule immer gemacht
Also hätte ich einmal die Wurzel aus 0 und dann noch die Wurzel aus [mm] (z+\bruch{a}{2})^2 [/mm] oder nicht?
> Du zerlegst [mm]\omega[/mm] in [mm]\omega=\omega_x+i\omega_y[/mm] und c in
> [mm]c=c_x+ic_y,[/mm] wobei du c kennst, [mm]\omega[/mm] aber gar nicht. Dabei
> sind nun die einzelnen Komponenten reell (natürlich nicht
> das i).
Ok, c kenne ich, aber kenne ich auch [mm] c_x [/mm] ud [mm] c_y?
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich [mm] c=\bruch{a^2}{4}+b [/mm] am besten zerlege für die einzelnen reellen Komponenten.
Ich könnte natürlich a und b auch wieder zerlegen in [mm] a_x [/mm] usw. aber dann hätte ich nachher was wie [mm] c_x=...a_x [/mm] und ich glaube nicht, dass mir das weiterhilft.
> Wie löst man das Gleichungssystem?
>
> Die 2. Gleichung löst man nach [mm]\omega_x[/mm] oder [mm]\omega_y[/mm] auf
> und setzt das in die 1. Gleichung ein. Du erhältst einen
> Bruch und erweiterst das Ganze mit dem Nenner. Das gibt
> eine biquadratische Gleichung mit 2 Lösungen.
So, ich habe jetzt mal die Schritte versucht zu machen, die du vorgeschlagen hast.
Ich löse die zweite Gleichung nach [mm] w_x^2 [/mm] auf.
Am Ende erhalte ich dann folgendes biquadratisches Gleichungssystem:
[mm] 4w_y^4-4c_xw_y^2=c_y^2 [/mm] bzw. [mm] 4w_y^4-4c_xw_y^2-c_y^2=0
[/mm]
Hier weiß ich nun nicht weiter.
Ich habe mal versucht, es mit Substitution zu lösen, dann könnte ich pq-Formel machen.
Aber wenn ich dann zurücksubstituiere, dann erhalte ich als Lösungsterme Ergebnisse mit Wurzeln in Wurzeln
Ich glaube nicht, dass das so stimmt... ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Wahrscheinlich könnte ich dann hier mit den c's weiter arbeiten, oder?
Aber da wären wir ja wieder bei meinem Problem von oben...
Wie muss ich jetzt weiter machen?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 05.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Nadine,
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> > Aus [mm](z+\bruch{a}{2})^2=0[/mm] folgt nur die Lösung
> > [mm]z+\bruch{a}{2}=0[/mm] und damit [mm]z=-\bruch{a}{2}.[/mm]
>
> Aber um von [mm](z+\bruch{a}{2})^2=0[/mm] auf [mm]z+\bruch{a}{2}=0[/mm] zu
> kommen, muss ich doch auf beiden Seiten des
> Gleichheitszeichens die Wurzel ziehen, oder nicht?
da steht doch wörtlich, dass das Quadrat einer Zahl gleich Null ist. Die einzige Zahl, deren Quadrat Null ist, ist Null: [mm] (0)^2=0
[/mm]
Also muss lediglich [mm] z+\bruch{a}{2}=0 [/mm] sein -- ohne Wurzelziehen
nun klarer?
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Do 05.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hi Herby.
Danke für deine Erklärung, ist nun klar 
LG, Nadine
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Hier mal ein Beispiel mit ganzen Zahlen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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