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| Aufgabe | a)Für welchen Koeffizienten a alle reellen Zahlen ist eine Parabel gestaucht und nach unten geöffnet.
b) Aus dem Scheitelpunkt (-4/12) soll eine Funktionsgleichung einer Parabel gemacht werden |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe leider bei einer Frage zu Parbalen große Schwierigkeiten und zwar lautet diese:
Für welchen Koeffizienten a alle reellen Zahlen ist eine Parabel gestaucht und nach unten geöffnet.
meine Idee wäre folgende:
-1/3x²
Ich hoffe mir kann jemand meine Frage beantworten.
Zudem stelle ich mir die Frage, wenn ich den Scheitelpunkt (-4/12) habe, wie ich dann auf eine Funktionsgleichung komme?
Gibt es dafür eine Formel oder soetwas?
Vielen Dank im Voraus.
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Du weißt, dass sich jede Parabel schreiben lässt als:
f(x) = [mm]a*x^2 + b*x + c[/mm] für [mm]a,b,c \in \IR[/mm]
In Aufgabenteil a) ist eben das a aus dieser Gleichung gemeint.
Nun weißt du sicher ein paar Dinge über Parabeln und wann sie nach oben, wann nach unten geöffnet sind, wann gestreckt, wann gestaucht...
Wende das Wissen einfach auf die Gleichung an.
bzw. a = [mm]\frac{-1}{3}[/mm] ist ein richtiger Wert, aber es gibt noch weit mehr; du sollst alle finden. ;)
Zu b):
Du weißt, dass der Scheitelpunkt bei (-4|12) liegt.
Das heißt du weißt schonmal, dass dieser Punkt auf der Parabel liegt, also:
[mm]a*(-4)^2 + b*(-4) + c = 12[/mm]
weiterhin weißt du (da das der Scheitelpunkt ist), dass die Ableitung dort 0 ist, also:
2*a*(-4) + b = 0
(dass die Ableitung einer Parabel in obiger Form die Form f'(x) = 2ax + b hat weißt du hoffentlich ;) )
Jetzt hast du zwei Gleichungen und kannst damit a,b,c ausrechnen.
Natürlich kriegst du keine eindeutigen Lösungen, aber es gibt ja auch mehrere Parabeln die ihren Scheitelpunkt bei (-4|12) haben.
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Hi,
Ableitungen haben wir leider bisher noch nicht behandelt.
Also das ich x und y in die Normalform einsetzten kann, ist klar.
Also würde dort stehen:
a*(-4)² + b*(-4)+c=12 oder?
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> Hi,
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> Ableitungen haben wir leider bisher noch nicht behandelt.
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> Also das ich x und y in die Normalform einsetzten kann, ist
> klar.
> Also würde dort stehen:
>
> a*(-4)² + b*(-4)+c=12 oder?
>
>
Das erscheint mir alles etwas umständlich. Du sollst ja eine Parabelgleichung erhalten und du kannst keine 3 Parameter mit nur einer Gleichung bzw einem Punkt bestimmen.
Daher hilft der Kommentar auch nicht recht weiter. Du solltest aber die allgemeingültige Scheitelpunktsform einer Parabel kennen, weshalb dir auch die Koordinaten des Scheitelpunktes bekanntgegeben wurden.
[mm] $y=a(x-x_s)^2+ys$
[/mm]
Das heißt, mit [mm] Scheitelpunkt(x_s,y_s) [/mm] kannst du diese GLeichung aufstellen, und wenn gewünscht auch noch ausklammern und in eine Form [mm] ax^2+bx+c [/mm] überführen, was aber nicht unbedingt nötig ist.
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a>0: Parabel nach oben geöffnet
a<0: Parabel nach unten geöffnet
a=-1: Spiegelung der Normalparabel an der x-Achse
|a|>1: Streckung der Normalparabel in Richtung der y-Achse
|a|<1: Stauchung der Normalparabel in Richtung der y-Achse
>
> -1/3x²
Stimmt.
> Zudem stelle ich mir die Frage, wenn ich den Scheitelpunkt
> (-4/12) habe, wie ich dann auf eine Funktionsgleichung
> komme?
> Gibt es dafür eine Formel oder soetwas?
Kennst du die Scheitelpunktsform einer Parabel?
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Hi,
erstmal vielen Dank für die schnellen Antworten.
Ok, soweit so gut.
Aber im internet findet man oftmals die Definition, dass eine Parabel dann gestaucht ist, wenn der Faktor vor dem x² größer 1 ist. Würde das nicht bedeuten, dass es sich bei negativen Faktoren um gestreckte Parabeln handelt?
Die Scheitelpunktsform einer Parabel ist doch ax² + bx +c 0der nicht?
Vielen Dank für eure Hilfe.
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edit: Adamantin hat natürlich recht, bei der Streckung wird die Parabel steiler, bei der Stauchung flacher...
Also muss so lauten:
Die Definition stimmt, ist aber nicht vollständig.
Eine Parabel ist gestreckt, wenn der Faktor vor dem [mm]x^2[/mm] größer 1 oder kleiner -1 ist.
Der zweite Teil wird nur öfters weggelassen, weil Parabeln mit einem negativen Vorfaktor im großen und ganzen nur nach unten geklappt sind aber Eigenschaften wie gestreckt/gestaucht behalten. (Also ist die Parabel für a gestreckt so ist sie auch für -a gestreckt und umgekehrt).
Zu deiner zweiten Frage: Nein, das ist nicht die Scheitelpunktsform, die Scheitelpunktsform ist:
[mm]f(x) = a*(x-d)^2 +e[/mm] wobei a der Vorfaktor aus der bereits bekannten Formel ist, d die x-Koordinate des Scheitelpunktes und e die y-Koordinate.
Also in deinem Fall wäre [mm]f(x) = a*(x+4)^2 + 12[/mm]
Wenn du diese Gleichung nun auflöst hast du deine Funktion f die genau bei (-4|12) ihren Scheitelpunkt hat (es bleibt nur eine Variable a drinn, die du frei wählen kannst).
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:39 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Adamantin |
> Die Definition stimmt, ist aber nicht vollständig.
> Eine Parabel ist gestaucht, wenn der Faktor vor dem [mm]x^2[/mm]
> größer 1 oder kleiner -1 ist.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Ihr beide liegt falsch, redet aber eventuell auch von Streckung und nichtg Stauchung.
Stauchung ist es natürlich nur für 0 < |a| < 1! So wie sie es in ihrem Beispiel mit 1/3 auch gemacht hat
> Der zweite Teil wird nur öfters weggelassen, weil
> Parabeln mit einem negativen Vorfaktor im großen und
> ganzen nur nach unten geklappt sind aber Eigenschaften wie
> gestreckt/gestaucht behalten. (Also ist die Parabel für a
> gestreckt so ist sie auch für -a gestreckt und
> umgekehrt).
>
> Zu deiner zweiten Frage: Nein, das ist nicht die
> Scheitelpunktsform, die Scheitelpunktsform ist:
> [mm]f(x) = a*(x-d)^2 +e[/mm] wobei a der Vorfaktor aus der bereits
> bekannten Formel ist, d die x-Koordinate des
> Scheitelpunktes und e die y-Koordinate.
> Also in deinem Fall wäre [mm]f(x) = a*(x+4)^2 + 12[/mm]
>
> Wenn du diese Gleichung nun auflöst hast du deine Funktion
> f die genau bei (-4|12) ihren Scheitelpunkt hat (es bleibt
> nur eine Variable a drinn, die du frei wählen kannst).
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