Quadratische Formen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | Untersuchen Sie, ob [mm] f(x,y)=7x^{2}-3xy+y^{2} [/mm] die Zahl 61 eigentlich darstellt. |
| Aufgabe 2 | | Existiert eine quadratische Form f mit [mm] d_f [/mm] =-24, die 31 eigentlich darstellt? Falls ja, gebe man eine solche quadratische Form f sowie passende [mm] (x,y)\in\IZ^{2} [/mm] an, sodass f(x,y)=31 ist. |
also zur ersten aufgabe habe ich schon fast die lösung:
ich habe es so gemacht, wie es uns im tutorium gezeigt wurde:
erstmal habe ich geprüft, ob h(-19)=1 ist u das passt.
dann habe ich ein korollar angewendet und zwar soll ein [mm] (x,y)\in\IZ [/mm] existieren mit f(x,y)=61 und ggt(x,y)=1, [mm] d_f=-19
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}\equiv-19 [/mm] mod 4*61 ist lösbar.
und wegen dem chinesischen restsatz ist [mm] x^{2}\equiv-19 [/mm] mod 4 und [mm] x^{2}\equiv-19 [/mm] mod 61 lösbar.
offenbar gilt: [mm] x^{2}\equiv-19\equiv1 [/mm] mod 4 ist mit [mm] x\equiv1 [/mm] mod 4 lösbar. ist [mm] x^{2}\equiv-19 [/mm] mod 61 lösbar?
da [mm] 61\in [/mm] primzahl ist hilft das legendre-symbol:
und ab da bin ich hängen geblieben, weil ich irgendwie die rechenregeln nicht mehr verstehe bzw nicht mehr verstehe, wie man darauf immer kommt.
ich habe jetzt gerechnet: [mm] (\bruch{-19}{61})= (\bruch{-1}{61})*(\bruch{19}{61})=-1*(\bruch{-61}{19})=(\bruch{-4}{19})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{2}{19})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{19}{2})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{1}{2}). [/mm] (<-stimmt das?)
=> [mm] x^{2}\equiv-19 [/mm] mod 61 ist nicht lösbar.
=> [mm] x^{2}\equiv-19 [/mm] mod 4*61 ist nicht lösbar.
=> 61 wird nicht durch f(x,y) eigentlich dargestellt.
und zur zweiten aufgabe: im prinzip geht die ja genauso. aber da habe ich auch ein problem:
erstmal habe ich gerechnet:
es muss geprüft werden, ob [mm] x^{2}\equiv-24 [/mm] mod 4*31 lösbar ist.
nach dem chinesischen restsatz lässt sich die kongruenz [mm] x^{2}\equiv-24 [/mm] mod 4*31 aufspalten:
[mm] x^{2}\equiv-24 [/mm] mod 4*31 ist lösbar
[mm] \gdw x^{2}\equiv-24 [/mm] mod 4 ist lösbar und [mm] x^{2}\equiv-24 [/mm] mod 31 ist lösbar.
offenbar gilt: [mm] x^{2}\equiv-24\equiv0 [/mm] mod 4 ist mit [mm] x\equiv0 [/mm] mod 4 lösbar. und da bin ich jetzt hängen geblieben, weil 24 ja keine primzahl ist. rechnet man das dann trotzdem mit dem legendre-symbol? oder wie macht man das?
wäre euch auch sehr dankbar, wenn mir irgendwer einen tipp geben könnte, wie man am einfachsten die legendre-symbole ausrechnet, um die regeln anwenden zu können? :)
ich danke euch schonmal ganz herzlich :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Do 30.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo sunny,
Du hattest zwei linke geschweifte Klammern zuviel, so dass eigentlich nur Quelltext angezeigt wurde. Der ist schlecht zu lesen. Die beiden Klammern habe ich mal entfernt.
Für mich genauso schlecht zu lesen ist aber die durchgehende Kleinschreibung und das Fehlen sinneinteilender Absätze. So ist es eine Bleiwüste.
Wenn Du möchtest, dass Dir Unbekannte ihre Zeit hier schenken, solltest Du es ihnen etwas leichter machen. Meine Meinung.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Sunny1508 |
Ja, tut mir leid. Ich gebe mir schon die allergrößte Mühe, aber irgendwie komme ich immer noch nicht komplett mit diesem Forum zurecht! :(
Ich hatte mich gestern auch schon gewundert, warum der Text so komisch aussieht und fast zu viel gekriegt!
Ich werde mich demnächst noch mehr bemühen, obwohl ich mir schon die größte Mühe gebe. Ich bin manchmal halt einfach hilflos :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Fr 31.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Untersuchen Sie, ob [mm]f(x,y)=7x^{2}-3xy+y^{2}[/mm] die Zahl 61
> eigentlich darstellt.
>
>
>
> Existiert eine quadratische Form f mit [mm]d_f[/mm] =-24, die 31
> eigentlich darstellt? Falls ja, gebe man eine solche
> quadratische Form f sowie passende [mm](x,y)\in\IZ^{2}[/mm] an,
> sodass f(x,y)=31 ist.
>
>
>
> also zur ersten aufgabe habe ich schon fast die lösung:
> ich habe es so gemacht, wie es uns im tutorium gezeigt
> wurde:
>
> erstmal habe ich geprüft, ob h(-19)=1 ist u das passt.
>
> dann habe ich ein korollar angewendet und zwar soll ein
> [mm](x,y)\in\IZ[/mm] existieren mit f(x,y)=61 und ggt(x,y)=1,
> [mm]d_f=-19[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}\equiv-19[/mm] mod 4*61 ist lösbar.
> und wegen dem chinesischen restsatz ist [mm]x^{2}\equiv-19[/mm] mod
> 4 und [mm]x^{2}\equiv-19[/mm] mod 61 lösbar.
Du meinst, es ist aequivalent dazu, dass diese beiden Kongruenzen loesbar sind.
> offenbar gilt: [mm]x^{2}\equiv-19\equiv1[/mm] mod 4 ist mit [mm]x\equiv1[/mm]
> mod 4 lösbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist [mm]x^{2}\equiv-19[/mm] mod 61 lösbar?
> da [mm]61\in[/mm] primzahl ist hilft das legendre-symbol:
> und ab da bin ich hängen geblieben, weil ich irgendwie die
> rechenregeln nicht mehr verstehe bzw nicht mehr verstehe,
> wie man darauf immer kommt.
> ich habe jetzt gerechnet: [mm](\bruch{-19}{61})= (\bruch{-1}{61})*(\bruch{19}{61})=-1*(\bruch{-61}{19})=(\bruch{-4}{19})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{2}{19})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{19}{2})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{1}{2}).[/mm]
> (<-stimmt das?)
> => [mm]x^{2}\equiv-19[/mm] mod 61 ist nicht lösbar.
Das stimmt nicht, da $(-19/61) = 1$ ist. Wenn du moechtest, dass wir den Fehler in deiner Rechnung suchen, waere es nett wenn du jeweils dabeischreiben wuerdest, welche Rechenregel du wie verwendet hast.
Aber versuche es doch mal aehnlich zu rechnen, wie ich das unten vorgemacht hab: erst den Zaehler faktorisieren, dann Multiplikativitaet verwenden, dann quadratisches Reziprozitaetsgesetz. Danach das ganze nochmal von vorne mit den ueberbleibenden Legendre-Symbolen, bis was einfach genuges herauskommt.
> => [mm]x^{2}\equiv-19[/mm] mod 4*61 ist nicht lösbar.
> => 61 wird nicht durch f(x,y) eigentlich dargestellt.
>
> und zur zweiten aufgabe: im prinzip geht die ja genauso.
> aber da habe ich auch ein problem:
> erstmal habe ich gerechnet:
> es muss geprüft werden, ob [mm]x^{2}\equiv-24[/mm] mod 4*31 lösbar
> ist.
> nach dem chinesischen restsatz lässt sich die kongruenz
> [mm]x^{2}\equiv-24[/mm] mod 4*31 aufspalten:
> [mm]x^{2}\equiv-24[/mm] mod 4*31 ist lösbar
> [mm]\gdw x^{2}\equiv-24[/mm] mod 4 ist lösbar und [mm]x^{2}\equiv-24[/mm]
> mod 31 ist lösbar.
> offenbar gilt: [mm]x^{2}\equiv-24\equiv0[/mm] mod 4 ist mit [mm]x\equiv0[/mm]
> mod 4 lösbar.
> und da bin ich jetzt hängen geblieben, weil
> 24 ja keine primzahl ist. rechnet man das dann trotzdem mit
> dem legendre-symbol?
Klar. Es ist $(24/31) = [mm] (2^3 \cdot [/mm] 3/31) = [mm] (2/31)^3 [/mm] (3/31)$ wegen der Multiplikativitaet. Und $(2/31)$, $(3/31)$ kannst du jetzt mit der quadratischen Reziprozitaet schnell bestimmen.
Beispiel: $(3/31) = (31/3) [mm] \cdot (-1)^{\frac{3 - 1}{2} \cdot \frac{31 - 1}{2}} [/mm] = (1/3) [mm] \cdot (-1)^{1 \cdot 15} [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] -1 = -1$, da $31 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{3}$ [/mm] und $(1/3) = 1$ ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
ok, danke :)
aber zu der ersten aufgabe, wenn man [mm] (\bruch{-61}{19})=1 [/mm] hat, dann braucht man doch gar nicht mehr weiterrechnen? weil man will doch entweder -1 od 1 haben.
und zu der 2. aufgabe probier ich bald mal mein glück ;)
lg :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> aber zu der ersten aufgabe, wenn man [mm](\bruch{-61}{19})=1[/mm]
> hat, dann braucht man doch gar nicht mehr weiterrechnen?
Nun, wenn du das [mm] $x^2 \equiv [/mm] -19 [mm] \pmod{4}$ [/mm] schon als Loesbar identifiziert hast, dann reicht das (zusammen mit dem Argument des Chinesischen Restsatzes).
> weil man will doch entweder -1 od 1 haben.
Wie meinst du das? Ich frage mich gerade, ob ich deine Frage richtig verstehe.
LG Felix
|
|
|
| |
|
naja, man will ja wissen, ob es lösbar ist oder nicht. und wenn -1 herauskommt, ist es nicht lösbar und bei 1 ist es lösbar. verstehst du, was ich meine?
ich habe jetzt die 2.aufgabe gelöst und herausbekommen, dass es lösbar ist. und dann sollten wir ja noch eine quadratische form f und passende [mm] (x,y)\in\IZ^{2} [/mm] angeben, sodass f(x,y)=31 ist.
wir haben den tipp dazu bekommen, dass wir alle reduzierten formen dazu finden sollen.
das habe ich auch gemacht und als reduzierte formen
[mm] f(x,y)=x^{2}+xy+6y^{2} [/mm] bzw [mm] 2x^{2}+xy+3y^{2} [/mm] raus.
jetzt weiß ich bloß leider nicht weiter, was man damit jetzt anfangen soll bzw wie man die passenden [mm] (x,y)\in\IZ^{2} [/mm] finden kann.
oder bin ich schon fertig, wenn ich die reduzierten formen gefunden habe?
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Es sei f eine positiv definite quadratische Form. Warum gilt stets [mm] d_{f}\equiv0 [/mm] bzw 1 mod 4? |
mir ist aufgefallen, dass ich noch eine Aufgabe zu dem thema hab ;) *gg*
Also hier zu habe ich eigentlich gar keinen Ansatz. Liegt das mit daran, dass [mm] d_{f}=b^{2}-4ac [/mm] ist? aber ich weiß leider nicht weiter :(
danke euch schonmal :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 03.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei f eine positiv definite quadratische Form. Warum
> gilt stets [mm]d_{f}\equiv0[/mm] bzw 1 mod 4?
> mir ist aufgefallen, dass ich noch eine Aufgabe zu dem
> thema hab ;) *gg*
> Also hier zu habe ich eigentlich gar keinen Ansatz. Liegt
> das mit daran, dass [mm]d_{f}=b^{2}-4ac[/mm] ist? aber ich weiß
> leider nicht weiter :(
Schau dir [mm] $d_f [/mm] = [mm] b^2 [/mm] - 4 a c$ einfach modulo 4 an. Der hintere Teil faellt dann ja weg, und ein Quadrat modulo 4 kann nur 0 oder 1 sein.
LG Felix
|
|
|
| |
|
und das fällt weg wegen mod 4, oder? ok, danke :) und das war schon der Beweis? naja, gibt es ja auch nicht viele Punkte drauf ;D
kannst du auch nochmal wegen der anderen antwort gucken? *lg*:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Mo 03.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> und das fällt weg wegen mod 4, oder? ok, danke :) und das
> war schon der Beweis?
genau.
> naja, gibt es ja auch nicht viele
> Punkte drauf ;D
Das hat auch einen Grund 
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Di 04.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> naja, man will ja wissen, ob es lösbar ist oder nicht. und
> wenn -1 herauskommt, ist es nicht lösbar und bei 1 ist es
> lösbar. verstehst du, was ich meine?
Ja. Wobei du das Korollar noch richtig anwenden musst: wenn es 1 ist, heisst es nur, dass es eine quadratische Form mit der Diskriminante gibt, die 61 eigentlich darstellt. Aber nicht, dass deine quadratische Form das tut.
> ich habe jetzt die 2.aufgabe gelöst und herausbekommen,
> dass es lösbar ist. und dann sollten wir ja noch eine
> quadratische form f und passende [mm](x,y)\in\IZ^{2}[/mm] angeben,
> sodass f(x,y)=31 ist.
>
> wir haben den tipp dazu bekommen, dass wir alle reduzierten
> formen dazu finden sollen.
> das habe ich auch gemacht und als reduzierte formen
> [mm]f(x,y)=x^{2}+xy+6y^{2}[/mm] bzw [mm]2x^{2}+xy+3y^{2}[/mm] raus.
>
> jetzt weiß ich bloß leider nicht weiter, was man damit
> jetzt anfangen soll bzw wie man die passenden
> [mm](x,y)\in\IZ^{2}[/mm] finden kann.
Nun, eine von den beiden stellt 31 eigentlich dar (oder sogar beide). Jetzt hilft z.B. etwas herumprobieren.
Tipp: es ist die zweite, und $y$ ist negativ und betragsmaessig klein.
LG Felix
|
|
|
| |
|
also ich habe jetzt ein ergebnis raus: und zwar ist x=4, y=-1.
und die quadratische form ist dann: [mm] 2x^{2}+xy+3y^{2}?
[/mm]
aber wie erklärt man das jetzt? weil rumprobieren macht sich ja normal nicht so gut in den hausübungen...;)
|
|
|
| |
|
Sei gegrüßt, Sunny!
> aber wie erklärt man das jetzt? weil rumprobieren macht sich ja normal nicht so gut in den hausübungen...;)
Habt Ihr ein systematisches Verfahren gelernt? Probieren ist eine ehrenwerte und effiziente Strategie für kleine, ganzzahlige, endliche Probleme. Ich selbst würde nichts anderes machen. Man kann - der Wahrheit entsprechend - schreiben: "Durch Probieren findet man eine Lösung x=... usw." (Unklar ist nämlich bisher noch, ob die Lösung eindeutig ist, aber das ist eine andere Frage.)
Hochachtungsvoll, P. G. L. Dirichlet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Do 06.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > naja, man will ja wissen, ob es lösbar ist oder nicht. und
> > wenn -1 herauskommt, ist es nicht lösbar und bei 1 ist es
> > lösbar. verstehst du, was ich meine?
>
> Ja. Wobei du das Korollar noch richtig anwenden musst: wenn
> es 1 ist, heisst es nur, dass es eine quadratische Form mit
> der Diskriminante gibt, die 61 eigentlich darstellt. Aber
> nicht, dass deine quadratische Form das tut.
ich hatte uebersehen, dass du ja $h(-19) = 1$ schon weisst. Damit ist mein Einwand nicht weiter wichtig, da je zwei Formen dieser Diskriminante aequivalent sind und somit die gleichen Zahlen eigentlich darstellen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 05.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Sei gegrüßt, Sunny.
> > und ab da bin ich hängen geblieben, weil ich irgendwie die
> > rechenregeln nicht mehr verstehe bzw nicht mehr verstehe,
> > wie man darauf immer kommt.
> > ich habe jetzt gerechnet: [mm](\bruch{-19}{61})= (\bruch{-1}{61})*(\bruch{19}{61})=-1*(\bruch{-61}{19})=(\bruch{-4}{19})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{2}{19})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{19}{2})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{1}{2}).[/mm]
> > (<-stimmt das?)
> > => [mm]x^{2}\equiv-19[/mm] mod 61 ist nicht lösbar.
Ich würde mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz und dem ersten Ergänzungssatz rechnen: [mm](\bruch{-19}{61})=(\bruch{-1}{61})*(\bruch{19}{61})=1*(\bruch{61}{19})=(\bruch{4}{19})=(\bruch{2}{19})^2=1[/mm], da [mm]61\equiv 4[/mm] mod 19.
Ob das bloße Ergebnis simmt, kann man hier prüfen: http://page.mi.fu-berlin.de/gehroldt/leg.php
Damit ist [mm]x^{2}\equiv-19[/mm] mod 61 lösbar, durch simples Probieren findet man übrigens [mm]15^{2}\equiv42\equiv-19[/mm] mod 61. Hilft das weiter?
>> Das stimmt nicht, da [mm](-61/19) = 1[/mm] ist. Wenn du moechtest, ...
Anmerkung: Nach meiner bescheidenen Kenntnis ist [mm](-61/19) = -1[/mm].
Hochachtungsvoll, P. G. L. Dirichlet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mi 05.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Dirichlet!
> > > ich habe jetzt gerechnet: [mm](\bruch{-19}{61})= (\bruch{-1}{61})*(\bruch{19}{61})=-1*(\bruch{-61}{19})=(\bruch{-4}{19})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{2}{19})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{19}{2})=(\bruch{-2}{19})*(\bruch{1}{2}).[/mm]
> > > (<-stimmt das?)
> > > => [mm]x^{2}\equiv-19[/mm] mod 61 ist nicht lösbar.
>
> > Das stimmt nicht, da [mm](-61/19) = 1[/mm] ist. Wenn du
> > moechtest, ...
>
> Anmerkung: Nach meiner bescheidenen Kenntnis ist [mm](-61/19) = -1[/mm].
Danke fuer den Hinweis! Da hatte ich mich vertippt; ich meinte $(-19/61)$ und nicht $(-61/19)$. Ich aender das gleich mal...
LG Felix
|
|
|
| |
|
eigentlich müsste es mir ja weiterhelfen, aber irgendwie bin ich gerade verwirrt...*gg*
also ist das ganze ding lösbar und 61 wird eigentlich dargestellt? wenn ja, muss man dann noch irgendwas rechnen oder ist man damit fertig? fertig, oder?
|
|
|
| |
|
Sei gegrüßt, Sunny!
> eigentlich müsste es mir ja weiterhelfen, aber irgendwie bin ich gerade verwirrt...*gg*
> also ist das ganze ding lösbar und 61 wird eigentlich dargestellt? wenn ja, muss man dann noch irgendwas rechnen
> oder ist man damit fertig? fertig, oder?
Ja, die gegebene Form stellt die 61 eigentlich dar. Deine Argumentation ist grundsätzlich korrekt, bei der Berechnung des Legendre-Symbols kommt aber +1 heraus. Gemäß der Aufgabenstellung muss man kein x, y angeben, welche die 61 darstellen, sondern die Antwort nur korrekt begründen.
Hochachtungsvoll, P. G. L. Dirichlet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Do 06.01.2011 | | Autor: | Sunny1508 |
ok, vielen lieben dank! :)
|
|
|
|
