Quadratintegrierbare Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Kontakti |
| Aufgabe | | Quadratintegrierbare Funktionen spielen in der Analysis und mathematischen Physik eine wichtige Rolle. |
Ich muss eine Ausarbeitung zum Thema "Quadratintegrierbare Funktionen" im Rahmen eines Seminars über Fourierreihen halten. Grundlage ist der Abschnitt 10.3. im Buch Analysis II von Königsberger. Aus diesem stammt auch der obige Satz. Nun meine Fragen:
1) Gibt es (anschauliche) Anwendungsbeispiele, in denen die quadratintegrierbaren Funktionen eine wichtige Rolle spielen und welche wären das? Habe schon gegoogelt, aber nichts dazu gefunden und habe auch nur sehr wenig Ahnung von Physik.
2) Was haben die quadratintegrierbaren Funktionen mit Fourerreihen zu tun? Im Königsberger steht: Die quadratint. Fkt. bilden einen Raum mit Skalarprodukt der vollständig bezüglich der L2-Halbnorm ist und eine abzählbare Basis besitzt. Dadurch werden verallgemeinerte Fourierentwicklungen der Funktionen dieses Raumes möglich. Aber was heißt das eigentlich? Kann mir darunter nichts vorstellen!
Wäre über jede Hilfe sehr dankbar
Kontakti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Mi 01.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Hier
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsi/kaballo/Hilbert/Kap1-10.pdf
solltest Du fündig werden.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mi 01.08.2012 | | Autor: | Kontakti |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort. Leider steht in dem Text nur wenig, was mir weiterhilft, vor allem, weil die quadratintegrierbaren Funktionen nur am Rande (unter Punkt 1.14) thematisiert werden und da steht auch wieder nicht, welche Rolle diese Funktionen in Anwendungproblemen spielen und was speziell die quadratintegrierbaren Funktionen mit den Fouriertransformationen zu tun haben!
Könntest du mir evtl. ein Anwendungsbeispiel geben?
Lg
Kontakti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 01.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> danke für deine Antwort. Leider steht in dem Text nur
> wenig, was mir weiterhilft, vor allem, weil die
> quadratintegrierbaren Funktionen nur am Rande (unter Punkt
> 1.14) thematisiert werden und da steht auch wieder nicht,
> welche Rolle diese Funktionen in Anwendungproblemen spielen
> und was speziell die quadratintegrierbaren Funktionen mit
> den Fouriertransformationen zu tun haben!
???
Hast Du Dir die §en 3 und 4, insbesondere Theorem 4.10 angesehen ?
FRED
> Könntest du mir evtl. ein Anwendungsbeispiel geben?
> Lg
> Kontakti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 01.08.2012 | | Autor: | Kontakti |
Hi
Habe mir die Kapitel insbesondere 4.10 noch mal genauer vorgenommen und weiß jetzt, dass für die Funktionen aus L2 die Konvergenz der Fourierreihe im quadratischen Mittel gegeben ist, (das ist also eine Antwort auf die Frage, was beides miteinander zu tun hat) aber wozu braucht man das in der Praxis? Mir ist noch nicht klar, warum gerade die L2-Funtkionen so wichtig sind, Fouriertransformationen kann man doch auch mit anderen Funktionen machen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mi 01.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi
> Habe mir die Kapitel insbesondere 4.10 noch mal genauer
> vorgenommen und weiß jetzt, dass für die Funktionen aus
> L2 die Konvergenz der Fourierreihe im quadratischen Mittel
> gegeben ist, (das ist also eine Antwort auf die Frage, was
> beides miteinander zu tun hat) aber wozu braucht man das in
> der Praxis? Mir ist noch nicht klar, warum gerade die
> L2-Funtkionen so wichtig sind, Fouriertransformationen kann
> man doch auch mit anderen Funktionen machen, oder?
Stell Dir vor, Du bist bei Günther Jauch und er stellt Dir die folgende Frage: der FRED hat Dir einen Link auf eine pdf- Datei gegeben. Was aus Naturwissenschaft und Technik kommt in der Überschrift dieses Textdokumentes vor ?
A: Paarungsverhalten der Wühlmaus.
B: Wie bau ich mir ein Atomkraftwerk ?
C: Quantenmechanik.
D: Der Mehlwurm.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mi 01.08.2012 | | Autor: | Kontakti |
Sehr nett.... ich glaub ich nehm dann D -.-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Do 02.08.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi
> Habe mir die Kapitel insbesondere 4.10 noch mal genauer
> vorgenommen und weiß jetzt, dass für die Funktionen aus
> L2 die Konvergenz der Fourierreihe im quadratischen Mittel
> gegeben ist, (das ist also eine Antwort auf die Frage, was
> beides miteinander zu tun hat) aber wozu braucht man das in
> der Praxis? Mir ist noch nicht klar, warum gerade die
> L2-Funtkionen so wichtig sind, Fouriertransformationen kann
> man doch auch mit anderen Funktionen machen, oder?
Die quadratintegrablen Funktionen bilden einen vollständigen Hilbertraum. Die Exstenz des Skalarprodukts und die Vollständigkeit sind wesentlich für die Quantenmechanik: Die [mm] $L^2$-Norm [/mm] einer Wellenfunktion muss 1 sein, sonst kann man keine physikalisch sinnvollen Ergebnisse produzieren; und diese Ergebnisse werden mit Hilfe des Skalarprodukts berechnet. Der Übergang von der Ortsraum- zur Impulsraumdarstellung einer Wellenfunktion ist gerade eine Fouriertransformation.
Genau genommen nimmt man in der QM nicht den Raum [mm] $L^2$, [/mm] sondern den Raum der temperierten Distributionen. Z.B. lässt sich eine unendlich ausgedehnte ebene Welle nicht mit einer Wellenfunktion aus [mm] $L^2$ [/mm] beschreiben - es handelt sich dabei aber auch nicht um einen beobachtbaren physikalischen Zustand, sondern eine Idealisierung.
Viele Grüße
Rainer
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