Quadratfreie Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 So 02.11.2014 | | Autor: | evinda |
Hallo 
Sei d eine Quadratfreie Zahl.
Warum gilt folgendes?
d [mm] \mid z^2 \Rightarrow [/mm] d [mm] \mid [/mm] z
?
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Sieh dir mal die Primfaktorzerlegungen an.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 02.11.2014 | | Autor: | evinda |
Also, ist es folgenderweise?
d ist eine Quadratfreie Zahl, also, [mm] d=p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}, a_i=1, \forall [/mm] 1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] k
[mm] z=q_1^{b_1} \cdots q_l^{b_l}, b_i \geq [/mm] 1, [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \leq b_i \leq [/mm] l
d [mm] \mid z^2 \Rightarrow p_1 \cdot p_2 \cdots p_k^{a_k} \mid (q_1^{b_1} \cdots q_l^{b_l})^2=q_1^{2b_1} \cdots q_l^{2b_l}
[/mm]
Also muss es k [mm] \leq [/mm] l sein,und [mm] \exists i_1, \dots i_k, [/mm] sodass [mm] p_i \mid q_{i_j}, [/mm] also d [mm] \mid [/mm] z.
Oder habe ich es falsch verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also, ist es folgenderweise?
> d ist eine Quadratfreie Zahl, also, [mm]d=p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}, a_i=1, \forall[/mm]
> 1 [mm]\leq[/mm] i [mm]\leq[/mm] k
das ist okay, aber das kannst Du einfacher schreiben. Du kannst etwa
sagen, dass [mm] $d\,$ [/mm] als Produkt von [mm] $k\,$ [/mm] paarweise betragsverschiedenen primen
Zahlen aus [mm] $\IZ$ [/mm] geschrieben werden kann. Die Exponenten kannst Du
Dir dann alle sparen!
> [mm]z=q_1^{b_1} \cdots q_l^{b_l}, b_i \geq[/mm] 1, [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\leq b_i \leq[/mm] l
Das sei eine Primfaktorzerlegung von [mm] $z\,.$
[/mm]
> d [mm]\mid z^2 \Rightarrow p_1 \cdot p_2 \cdots p_k^{a_k} \mid (q_1^{b_1} \cdots q_l^{b_l})^2=q_1^{2b_1} \cdots q_l^{2b_l}[/mm]
>
> Also muss es k [mm]\leq[/mm] l sein,und [mm]\exists i_1, \dots i_k,[/mm]
> sodass [mm]p_i \mid q_{i_j},[/mm] also d [mm]\mid[/mm] z.
>
>
> Oder habe ich es falsch verstanden?
Ich blicke da am Ende nicht mehr wirklich durch, was Du sagen willst. Es
reicht doch folgendes:
O.E. sei $|d| [mm] \not=1\,.$ [/mm] Nehmen wir irgendeine der primen Zahlen [mm] $p_m$ [/mm] (mit $m [mm] \in \{1,...,k\}$) [/mm]
in einer Primfaktorzerlegung von [mm] $d\,$ [/mm] her. Dann gilt
[mm] $p_m \mid [/mm] d$ (klar)
und wegen $d [mm] \mid z^2$ [/mm] dann auch
[mm] $p_m \mid z^2\,.$
[/mm]
Überlege Dir, dass daraus dann
[mm] $p_m \mid q_n$ [/mm] für ein $n [mm] \in \{1,...,l\}$
[/mm]
folgt - also ist [mm] $p_m$ [/mm] assoziiert zu einem [mm] $q_n\,,$ [/mm] anders gesagt:
[mm] $|p_m|=|q_n|\,.$
[/mm]
Da $m [mm] \in \{1,...,k\}$ [/mm] beliebig war, wird es zu jedem primen Teiler von [mm] $d\,$
[/mm]
einen zugehörigen assoziierten primen Teiler von [mm] $z\,$ [/mm] geben. (Beachte auch: Weil
die [mm] $p_j$ [/mm] alle betragsmäßig paarweise verschieden sind, sind dies auch die
zugehörigen assoziierten primen Teiler von [mm] $z\,.$)
[/mm]
Daraus folgt dann die Behauptung.
Demonstration an einem Kurzbeispiel:
Ist [mm] $d\,$ [/mm] quadratfrei, so gilt
$d [mm] \mid [/mm] 8100$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $d [mm] \mid 900\,.$
[/mm]
Grund: [mm] $d=\pm [/mm] 1$ sind trivial. Ansonsten:
[mm] $8100=2^2*3^4*5^2=(2*3^2*5)^2\,.$
[/mm]
Eine positve ganze Zahl $t > [mm] 1\,$ [/mm] ist genau dann ein Teiler von [mm] $8100\,,$ [/mm] wenn
[mm] $t=2^a*3^b*5^c$ [/mm] mit $(a,b,c) [mm] \in (\{0,1,2\} \times \{0,1,2,3,4\} \times \{0,1,2\})\setminus \{(0,0,0)\}$
[/mm]
geschrieben werden kann.
Wegen der Quadratfreiheit kommt für $|d| > [mm] 1\,$ [/mm] aber nur
[mm] $|d|=2^1*3^0*5^0\,,$ [/mm]
[mm] $|d|=2^0*3^1*5^0\,,$ [/mm]
[mm] $|d|=2^0*3^0*5^1\,,$
[/mm]
[mm] $|d|=2^1*3^1*5^0\,,$
[/mm]
[mm] $|d|=2^1*3^0*5^1\,,$
[/mm]
[mm] $|d|=2^0*3^1*5^1\,,$
[/mm]
[mm] $|d|=2^1*3^1*5^1$
[/mm]
in Frage.
P.S. Ich habe gerade nochmal bei Wiki nachgeguckt - dort steht, dass quadratfreie
Zahlen [mm] $\in \IN$ [/mm] sind. Dann wird manches oben überflüssig. Ob das aber
jetzt speziell oder allgemein ist, weiß ich nicht... am Besten in die eigene
Definition gucken!
Ich denke, obiges passt besser, wenn man im Ring [mm] $(\IZ,+,*)$ [/mm] rechnet...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo
>
> Sei d eine Quadratfreie Zahl.
>
> Warum gilt folgendes?
>
> d [mm]\mid z^2 \Rightarrow[/mm] d [mm]\mid[/mm] z
UniOb hat Dir ja einen guten Hinweis gegeben, vielleicht mal etwas
spezieller:
O.E. kannst Du $z [mm] \in \IN \setminus \{0,1\}$ [/mm] annehmen, dann hat [mm] $z\,$ [/mm] eine (bis auf Reihenfolge
der Faktoren) eindeutige Primfaktorzerlegung mit Faktoren aus [mm] $\IP\,.$
[/mm]
(Natürlich ist es richtig, dass $z [mm] \in \IZ$ [/mm] auch negativ sein kann, aber dann
betrachtest Du halt [mm] $-z\,$ [/mm] anstatt [mm] $z\,.$ [/mm] Und die Fälle $z=0,1,-1$ kann man separat
behandeln.)
Wie sieht [mm] $z^2$ [/mm] dann aus? Und dann beachte, dass neben $d [mm] \mid z^2$ [/mm] ja [mm] $d\,$ [/mm] quadratfrei
sein soll!
Gruß,
Marcel
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