Quadrat in n kleiner Quadrate < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:10 Sa 07.11.2009 | | Autor: | mova |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge [/mm] 6 ein Quadrat in genau n kleinere Quadrate aufgeteilt werden kann. |
Ich komm bei diesem Beweis leider nicht weiter...vllt kann mir hier jemand helfen!Wäre super wenn es möglichst zügig gehen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
man kann ein Quadrat in n Quadrate zumindest dann unterteilen, wenn n eine Quadratzahl ist. Dann kann man mehrere Quadrate nochmal zusammenfassen/zergliedern. Nun überlege, welche Fälle man nun aufeinander zurückführen kann.
lg
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Sa 07.11.2009 | | Autor: | mova |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $ [mm] n\ge [/mm] $ 6 ein Quadrat in genau n kleinere Quadrate aufgeteilt werden kann. |
Mit dieser Antwort komme ich irgendwie bei dieser Aufgabenstellung nicht weiter...vllt hat ja noch jemand einen präziseren Tipp/ eine präzisere Antwort für mich mit der ich etwas weiter komme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
dann zeig uns deinen Ansatz oder sag uns, was genau dich an einem Ansatz hindert.
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Sa 07.11.2009 | | Autor: | mova |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $ [mm] n\ge [/mm] $ 6 ein Quadrat in genau n kleinere Quadrate aufgeteilt werden kann. |
Der Ansatz den ich bekommen hatte lautete :
man kann ein Quadrat in n Quadrate zumindest dann unterteilen, wenn n eine Quadratzahl ist. Dann kann man mehrere Quadrate nochmal zusammenfassen/zergliedern. Nun überlege, welche Fälle man nun aufeinander zurückführen kann.
Hiermit komme ich allerdings nicht wirklich weiter...
lg mova
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
das ist der Tipp, den dir Niladhoc freundlicherweise gab.
Hast du denn keinerlei Ideen zu dieser Aufgabe? Irgendwas?
Gruß
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Sa 07.11.2009 | | Autor: | mova |
Nein,leider habe ich gar keinen Ansatz und auch keine Idee zu dieser Aufgabe. Und mit dem genannten Ansatz/Idee komme ich auch nicht weiter leider.
lg mova
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 So 08.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Nein,leider habe ich gar keinen Ansatz und auch keine Idee
> zu dieser Aufgabe. Und mit dem genannten Ansatz/Idee komme
> ich auch nicht weiter leider.
>
> lg mova
Zeige durch konkrete Beispiele, dass Zerlegungen in 6, 7 bzw. 8 Quadrate möglich sind.
In jeder beliebigen Zerlegung kann man dann aus einem Teilquadrat 4 Teilquadrate machen und somit die Anzahl der Quadrate um 3 erhöhen.
Wenn 6 geht, geht also auch 9; wenn 7 geht, geht auch 10 usw.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.müssen die kleineren Quadrate ganzzahlige Seiten haben?
wenn nicht ist es einfach,
2. darf man das Quadrat zerschnppeln, oder müssen die schön reinpassen?
Für das 2te hab ich bisher keine Lösung, denk dann aber drüber nach.
3. Woher stammt die Aufgabe? Wenn Schule, was macht ihr gerade.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 So 08.11.2009 | | Autor: | mova |
zu 1. in der aufgabe steht nichts von ganzzahligen seiten...was wäre denn dabei deine idee...
zu 3. die aufgabe stammt aus der uni (Analysis)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
so wie du die Aufgabe aufgeschrieben hast lässt sie viele Interpretationen zu:
a) [mm] N^2 [/mm] = Summe von 6 Quadratzahlen
b) ein geometrisches Quadrat unterteilen. wenn nicht ganzzahlig vorgegeben ist, ist das trivial, man nimmt eines, das man kann, etwa [mm] 6^2=4^2+5*2^2 [/mm] und streckt es zentrisch, auf die anderen Seitenlängen. aber das geht dann auch für n<6, kanns also nicht sein.
Also krieg raus, was die wollen
Hast du den exakten Text der Aufgabe?
Hattet ihr irgend was anderes über Summen von Quadratzahlen?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 08.11.2009 | | Autor: | mova |
Das ist der exakte Text der Aufgabe...deswegen weiß ich leider nicht was ich euch dazu näheres sagen kann!
Wir haben bisher nichts ähnliches gemacht...leider!
Habt ihr so keine ideen zur Lösung meines Problems?
lg mova
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 So 08.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Das ist der exakte Text der Aufgabe...deswegen weiß ich
> leider nicht was ich euch dazu näheres sagen kann!
> Wir haben bisher nichts ähnliches gemacht...leider!
> Habt ihr so keine ideen zur Lösung meines Problems?
Das Problem ist fast gelöst. Wenn du schon Fragen stellst, solltest du alle Antworten/Mitteilungen lesen, z.B. hier
Gruß Abakus
>
> lg mova
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ich hab das wie folgt gemacht,
zu erst ein bißchen rumprobiert, wie man ein quadrat für n=6, n=7 und n=8 in 6, 7 bzw. 8 quadrate unterteilen könnte. da gabs eine regelmäßigkeit, die mich zu folgender induktionsannahme kommen ließ:
n²=(n-2)²+2²*(n-1)
die induktion hat geklappt, also nehm ich mal an, dass es richtig ist. als anfang hab ich dann n=6 genommen. rest kriegst du hin denk ich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 So 08.11.2009 | | Autor: | mova |
ich denke das sollte ich hinbekommen...danke für deine antwort!
lg mova
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 08.11.2011 | | Autor: | lucas91 |
| Aufgabe | | n²=(n-2)²+2²*(n-1) |
hallo, ich bin neu hier im Forum und gerade auf den Beitrag zur Teilung eines Quadrates in n>5 gestoßen. Meine Frage wäre: wie kann man diese Induktionsannahme beweisen? Zunächst für n=6 n=7 u. n=8 ?? Nur leider komme ich auf keinen einzigen beweis...
Hoffentlich kann jemand weiterhelfen...
Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> n²=(n-2)²+2²*(n-1)
> hallo, ich bin neu hier im Forum und gerade auf den
> Beitrag zur Teilung eines Quadrates in n>5 gestoßen. Meine
> Frage wäre: wie kann man diese Induktionsannahme beweisen?
> Zunächst für n=6 n=7 u. n=8 ?? Nur leider komme ich auf
> keinen einzigen beweis...
> Hoffentlich kann jemand weiterhelfen...
> Danke schonmal
Multipliziere [mm] (n-2)^2+2^2*(n-1) [/mm] aus und Du wirst sehen, dass [mm] n^2 [/mm] rauskommt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Di 08.11.2011 | | Autor: | lucas91 |
Danke für die schnelle Antwort,
mein Problem liegt jedoch offengestanden beim grundlegenden Verständnis.
Die Aufgabenstellung besagt: Weise nach dass ein Quadrat in n>5 Quadrate zerlegt werden kann ohne Überlappung. Man soll vollständige Induktion benutzen. Wie gehe ich nun aber vor um zu zeigen dass die vorherige Formel stimmt. ? bzw ist diese überhaupt anwendbar?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Di 08.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum übezugt dich die antwort von fred nicht?
fang mit der 6 an, nimm ein 4mak 4 Quadrat weg wieviele 2 er musst du drumrum legen um das 6*6 auszufüllen?
Kannst dus dann mit 10 wenn du ein 8 Qu. wegnimmst?
so kannst du due formel geometrisch beschreiben, aber dazu solltest du es zeichnen.
vollst. Induktion ist hier schlecht, weil man jdas Ergebnis direkt und nicht durch Schritt von n nach n+1 kriegt.
Gruss leduart
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> vollst. Induktion ist hier schlecht, weil man ja das
> Ergebnis direkt und nicht durch Schritt von n nach n+1
> kriegt.
>
> Gruss leduart
Hallo leduart,
ich finde es nicht so daneben, hier vollständige Induktion
anzuwenden.
Verankerung durch je eine Figur für n=6, n=7 und n=8 .
(man kann das gegebene Quadrat stets zerlegen in ein
in einer seiner Ecken anliegendes Quadrat und einen
winkelförmigen "Saum" aus 3 oder 5 oder 7 zueinander
kongruenten Quadraten)
Induktionsschritt: Ist ein Quadrat in n Quadrate zerlegt,
so kann man ein beliebiges der Teilquadrate in 4 kleinere
Quadrate unterteilen. Dabei erhöht sich die Anzahl der
Teilquadrate von n auf n+3.
Vorteil: keine Rechnungen; eigentlich rein geometrischer
Beweis.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Di 08.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo al
ich versteh deine Induktion nicht, ich sehe nur, dass wenn du ein [mm] n^2 [/mm] Quadrat in n kleinere zerlegen kannst du es auch in n+3 kleinere zerlegen kannst, wieso zeigt das, dass du ein [mm] (n+1)^2 [/mm] in n+1 Teilquadrate zerlegen kannst?
Gruss leduart
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> Hallo al
> ich versteh deine Induktion nicht, ich sehe nur, dass wenn
> du ein [mm]n^2[/mm] Quadrat in n kleinere zerlegen kannst du es auch
> in n+3 kleinere zerlegen kannst, wieso zeigt das, dass du
> ein [mm](n+1)^2[/mm] in n+1 Teilquadrate zerlegen kannst?
> Gruss leduart
Hallo leduart,
ja, da sind wir nochmals beim Problem der (un-)klaren
Aufgabenstellung. Es ging eben wohl gar nicht um eine
zahlentheoretische Frage über "Quadratzahlen", sondern
nur um eine Zerlegung eines (geometrischen) Quadrats.
In der Originalaufgabe wurde darauf aber anscheinend
nicht klar hingewiesen.
Man kann nun zwar z.B. ein [mm] 6\times6 [/mm] - Quadrat in 6 Teil-
quadrate mit ebenfalls ganzzahligen Seiten zerlegen:
$\ [mm] 6^2\ [/mm] =\ [mm] 1*4^2+5*2^2$
[/mm]
Schon für ein [mm] 7\times7 [/mm] - Quadrat gibt es aber (soweit ich
sehe) keine Zerlegung in 7 Teilquadrate mit ganzzahligen
Seiten.
LG Al
Nachtrag:
rechnerisch geht Letzteres zwar, nämlich
$\ [mm] 7^2=1*5^2+6*2^2$
[/mm]
aber daraus lässt sich keine geometrische Lösung
machen, bei der man kein Quadrat zerschnippeln
muss.
Die allgemeine Frage nach der Zerlegung von Quadratzahlen
in Summen von solchen ist im Übrigen (ob mit oder ohne
geometrische Zusatzbedingung) wohl ein paar Nummern
zu schwierig für einfache Übungen.
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> Hallo
> Warum übezugt dich die antwort von fred nicht?
> fang mit der 6 an, nimm ein 4mak 4 Quadrat weg wieviele 2
> er musst du drumrum legen um das 6*6 auszufüllen?
> Kannst dus dann mit 10 wenn du ein 8 Qu. wegnimmst?
> so kannst du due formel geometrisch beschreiben, aber dazu
> solltest du es zeichnen.
> vollst. Induktion ist hier schlecht, weil man jdas
> Ergebnis direkt und nicht durch Schritt von n nach n+1
> kriegt.
>
> Gruss leduart
Hallo leduart,
erst jetzt habe ich bemerkt, dass die Aufgabe
"Zerlege ein [mm] n\times{n} [/mm] - Quadrat geometrisch in genau
n Teilquadrate mit ganzzahligen Seitenlängen"
ja wirklich für alle geraden n (mit [mm] n\ge4) [/mm] durch die
Zerlegung
$\ [mm] n^2\ [/mm] =\ [mm] \red{1}*(n-2)^2+\red{(n-1)}*2^2\qquad mit\qquad\red{1+(n-1)=n}$
[/mm]
lösbar ist. In der Originalaufgabe war ja aber nur
von der Anzahl der Teilquadrate und nicht von der
Seitenlänge des gegebenen Quadrates die Rede.
Möchte man nun also etwa ein [mm] 7\times{7} [/mm] - Quadrat in
genau 7 Teilquadrate zerlegen, so ginge dies zwar
rechnerisch in der Form [mm] 7^2=1*5^2+6*2^2 [/mm] .
Will man aus den 7 Teilquadraten das [mm] 7\times{7} [/mm] - Quadrat
geometrisch zusammensetzen, so geht dies nicht,
außer man zerschneidet eines der kleinen Quadrate.
Man kann aber das [mm] 7\times{7} [/mm] - Quadrat durchaus in 7
Teilquadrate zerlegen, wenn man auf die Ganzzahlig-
keit von deren Seitenlängen verzichtet, nämlich:
[mm] 7^2=3*3.5^2+4*1.75^2 [/mm]
LG Al
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Hallo,
nachdem diese Frage zwei Jahre lang geruht hat, hier nun
noch eine andere Formulierung:
| Aufgabe | Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl n mit [mm] n\ge6 [/mm] eine
natürliche Zahl N und ein n-Tupel [mm] [/mm] von
natürlichen Zahlen gibt mit der Eigenschaft, dass man die
n Quadrate mit den Seitenlängen [mm] a_1, a_2, [/mm] .... , [mm] a_n [/mm] in der
Ebene lückenlos zu einem Quadrat der Seitenlänge N zusam-
menfügen kann. |
Eine Zusatzfrage (möglicherweise schwierig) wäre die nach dem
jeweils kleinstmöglichen Wert von N für ein vorgegebenes n .
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 13.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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