Quadrat abgebildet durch e^z < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Do 28.04.2011 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | Sei [mm] f: \IC \to \IC [/mm] definiert durch [mm] f(z)= e^z [/mm]. Man schreibe [mm]z \in \IC[/mm] in der Form [mm]z = x + i y, (x,y \in \IR)[/mm] .
a) Seien [mm] $0<\varepsilon [/mm] < [mm] \pi$ [/mm] und [mm] $a\in\IR$. [/mm] Man zeichne die Bildmenge $f(Q)$ des Quadrates $Q= [mm] \{x+iy: a -\varepsilon \leq x \leq a +\varepsilon, -\varepsilon \leq y \leq \varepsilon \} [/mm] $ unter der Abbildung $f$.
b) Man berechne das Verhältnis der Flächen $f(Q)$ und von $Q$ im Limes [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$
c) Wieso folgt das Ergebnis in Teilaufgabe b) auf Grund der Holomorphie der Funktion $f$? |
Hallo,
ich sitze jetzt schon eine Weile vor der Aufgbe, a) ist ja einfach.
$Q$ ist ein Quadrat und $f(Q)$ ein nicht durchgängiger, sondern links geöffneter Kreisring.
Zu b) Die Fläche von $Q$ ist ganz einfach zu berechnen: [mm] $4\varepsilon^2$. [/mm] Aber die Fläche des geöffneten Kreisringes kann ich mir einfach nicht herleiten, obwohl ich sogar ein Lösung gegeben habe:
[mm] $\bruch{2\varepsilon}{2 \pi} [/mm] ( ( [mm] e^{a+\varepsilon} )^2 \cdot \pi [/mm] - ( [mm] e^{a-\varepsilon} )^2 \cdot \pi [/mm] ) [mm] =\varepsilon \cdot e^{a}(e^{2\varepsilon}-e^{-2\varepsilon})$.
[/mm]
Kann mir jemand verraten wie man darauf kommt??? Ich habe schon versucht über die Kreissektoren zu integrieren und dann die Differenz zu berechnen. Leider kommt da nur ... raus.
Also vielen Dank schon mal
crümel
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Wenn du zwei konzentrische Kreise mit den Radien [mm]0
[mm]\frac{t}{2 \pi} \cdot \pi \left( R^2 - r^2 \right) = \frac{t}{2} \left( R^2 - r^2 \right)[/mm]
als Flächeninhalt dafür.
Hier sind
[mm]r = \operatorname{e}^{a - \varepsilon} \, , \ \ R = \operatorname{e}^{a + \varepsilon} \, , \ \ t = 2 \varepsilon[/mm]
Irgendwie scheinst du mir auf dem Schlauch zu stehen. Denn das ist ja einfache Mittelstufengeometrie.
Übrigens: Es muß später in der Formel dann [mm]\operatorname{e}^{2a}[/mm] heißen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Fr 29.04.2011 | | Autor: | cruemel |
Ah, vielen Dank. Ich hab einfach viel zu kompliziert gedacht.
crümel
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