Quader sind folgenkompakt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 So 06.06.2010 | | Autor: | mohn |
| Aufgabe | Es seien (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A [mm] \subset [/mm] X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge [mm] (x_{k})_{k \in \IN} [/mm] mit [mm] x_{k} \in [/mm] A , [mm] k\in \IN [/mm] , eine Teilfolge [mm] (x_{k_{l}} )_{l \in \IN} [/mm] besitzt, die gegen ein Element in A konvergiert.
Wir betrachten [mm] \IR^{n} [/mm] mit der euklidischen Metrik. Gegeben seien reelle Zahlen [mm] a_{i} \le b_{i} [/mm] , i=1,...,n. Zeigen Sie, dass der abgeschlossene Quader
[mm] \mathcal{Q}:= [a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}] \subset \IR^{n}
[/mm]
folgenkompakt ist.
Bemerkung:
In der Vorlesung wird gezeigt, dass die Begriffe "kompakt" und "folgenkompakt" für Teilmengen metrischer Räume äquvalent sind. Somit erhalten Sie einen alternativen Beweis dafür, dass [mm] \mathcal{Q} [/mm] kompakt ist.
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Sry, ich hinke gerade im Stoff etwas hinterher... :(
Wäre echt lieb, wenn mir einer die Begrifflichkeiten, die ich für diese Aufgabe benötige, etwas erklären könnte, damit ich hier später noch einen Lösungsansatz reinposten kann.
Vielen Dank Leute! Ich brauch die "Nachhilfe" gerade echt dringend!
Lg Mohn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Es seien (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A
> [mm]\subset[/mm] X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge [mm](x_{k})_{k \in \IN}[/mm]
> mit [mm]x_{k} \in[/mm] A , [mm]k\in \IN[/mm] , eine Teilfolge [mm](x_{k_{l}} )_{l \in \IN}[/mm]
> besitzt, die gegen ein Element in A konvergiert.
> Wir betrachten [mm]\IR^{n}[/mm] mit der euklidischen Metrik. Gegeben
> seien reelle Zahlen [mm]a_{i} \le b_{i}[/mm] , i=1,...,n. Zeigen
> Sie, dass der abgeschlossene Quader
> [mm]\mathcal{Q}:= [a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}] \subset \IR^{n}[/mm]
>
> folgenkompakt ist.
> Sry, ich hinke gerade im Stoff etwas hinterher... :(
> Wäre echt lieb, wenn mir einer die Begrifflichkeiten, die
> ich für diese Aufgabe benötige, etwas erklären könnte,
> damit ich hier später noch einen Lösungsansatz reinposten
> kann.
Es gibt hier nicht so viele Begrifflichkeiten zu beachten. Dir ist ja mit der Definition vorgegeben, was du zu zeigen hast: Bei uns ist $A = [mm] [a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]$.
[/mm]
Wir wählen nun eine Folge [mm] $(x^{(k)})_{k\in\IN} [/mm] = [mm] \vektor{(x_{1}^{(k)})\\ ... \\ (x_{n}^{(k)})}_{k\in\IN}\subset [/mm] A$.
Du hast zu zeigen, dass [mm] $(x^{(k)})_{k\in\IN}$ [/mm] gegen ein Element aus A konvergiert.
Beginne so: Es ist [mm] (x_{1}^{(k)})_{k\in\IN} [/mm] eine Folge, deren Folgenglieder alle aus [mm] [a_{1},b_{1}] [/mm] sind. Damit bewegst du dich im reellen Fall. Was weißt du dann? (*)
Wenn du alles richtig gemacht / gewusst hast, hast du nun eine Teilfolge [mm] (x_{1}^{(k)}')_{k\in\IN} [/mm] von [mm] (x_{1}^{(k)})_{k\in\IN}, [/mm] die gegen ein Element aus [mm] [a_{1},b_{1}] [/mm] konvergiert. Entsprechend "entstehen" durch diese Teilfolgenbildung auch Teilfolgen [mm] (x_{i}^{(k)}')_{k\in\IN} [/mm] von [mm] (x_{i}^{(k)})_{k\in\IN} [/mm] für i = 2,...,n.
Nun wendest du dasselbe Argument wie bei (*) auf die Teilfolge [mm] (x_{2}^{(k)}')_{k\in\IN} [/mm] an, usw.
Grüße,
Stefan
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Hallo Gono,
> Huhu Stefan,
>
> der Weg führt leider nicht zum Ziel, weil nicht gesichert
> ist, dass deine Auswahl an Teilfolgenglieder in Bezug auf
> [mm]x_1[/mm] (also bspw. jedes 3.) auch eine konvergente TF in bezug
> auf [mm]x_2[/mm] bildet.
> Das kriegt man auch nicht "gefixt".
ich hatte doch geschrieben: Man wählt erst eine Teilfolge der ersten Komponente, dadurch entstehen auch Teilfolgen der anderen Komponenten. Natürlich weiß ich dann erst, dass die erste Komponententeilfolge gegen etwas aus [mm] [a_{1},b_{1}] [/mm] konvergiert, über die anderen entstandenen Teilfolgen kann ich nichts aussagen.
Indem ich das Argument aber nun für die Teilfolge der zweiten Komponente anwende, erhalte ich die Aussage für die ersten beiden Komponententeilfolgen, usw.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:02 So 06.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Jo, hatte ja auch schon was dazu geschrieben.
War ein wenig voreilig, tut mir leid 
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 21:56 So 06.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Muss mich korrigieren, das führt doch zum Ziel, wenn man die andere Mitteilung beachtet
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Ayame |
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> Es gibt hier nicht so viele Begrifflichkeiten zu beachten.
> Dir ist ja mit der Definition vorgegeben, was du zu zeigen
> hast: Bei uns ist [mm]A = [a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}][/mm].
>
> Wir wählen nun eine Folge [mm](x^{(k)})_{k\in\IN} = \vektor{(x_{1}^{(k)})\\ ... \\ (x_{n}^{(k)})}_{k\in\IN}\subset A[/mm].
>
> Du hast zu zeigen, dass [mm](x^{(k)})_{k\in\IN}[/mm] gegen ein
> Element aus A konvergiert.
>
> Beginne so: Es ist [mm](x_{1}^{(k)})_{k\in\IN}[/mm] eine Folge,
> deren Folgenglieder alle aus [mm][a_{1},b_{1}][/mm] sind. Damit
> bewegst du dich im reellen Fall. Was weißt du dann? (*)
Da die Menge [mm] M=\{x_{1}^{(k)} | k \in \IN \} [/mm] endlich ist, hat [mm] x_{1}^{(k)} [/mm] eine konstante und damit in [mm] [a_{1},b_{1}] [/mm] konvergente Teilfolge.
Ist das als Argumentation in Ordnung ?
> Wenn du alles richtig gemacht / gewusst hast, hast du nun
> eine Teilfolge [mm](x_{1}^{(k)}')_{k\in\IN}[/mm] von
> [mm](x_{1}^{(k)})_{k\in\IN},[/mm] die gegen ein Element aus
> [mm][a_{1},b_{1}][/mm] konvergiert. Entsprechend "entstehen" durch
> diese Teilfolgenbildung auch Teilfolgen
> [mm](x_{i}^{(k)}')_{k\in\IN}[/mm] von [mm](x_{i}^{(k)})_{k\in\IN}[/mm] für i
> = 2,...,n.
>
> Nun wendest du dasselbe Argument wie bei (*) auf die
> Teilfolge [mm](x_{2}^{(k)}')_{k\in\IN}[/mm] an, usw.
>
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> >
> > Es gibt hier nicht so viele Begrifflichkeiten zu beachten.
> > Dir ist ja mit der Definition vorgegeben, was du zu zeigen
> > hast: Bei uns ist [mm]A = [a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}][/mm].
>
> >
> > Wir wählen nun eine Folge [mm](x^{(k)})_{k\in\IN} = \vektor{(x_{1}^{(k)})\\ ... \\ (x_{n}^{(k)})}_{k\in\IN}\subset A[/mm].
>
> >
> > Du hast zu zeigen, dass [mm](x^{(k)})_{k\in\IN}[/mm] gegen ein
> > Element aus A konvergiert.
> >
> > Beginne so: Es ist [mm](x_{1}^{(k)})_{k\in\IN}[/mm] eine Folge,
> > deren Folgenglieder alle aus [mm][a_{1},b_{1}][/mm] sind. Damit
> > bewegst du dich im reellen Fall. Was weißt du dann? (*)
>
> Da die Menge [mm]M=\{x_{1}^{(k)} | k \in \IN \}[/mm] endlich ist,
> hat [mm]x_{1}^{(k)}[/mm] eine konstante und damit in [mm][a_{1},b_{1}][/mm]
> konvergente Teilfolge.
>
> Ist das als Argumentation in Ordnung ?
Nein. Wieso soll M endlich sein?
[mm] (x_{1}^{(k)})_{k\in\IN} [/mm] ist eine Folge in [mm] [a_{1},b_{1}], [/mm] d.h. insbesondere beschränkt. Damit existiert nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge von [mm] (x_{1}^{(k)})_{k\in\IN}. [/mm] Weil [mm] [a_{1},b_{1}] [/mm] abgeschlossen, liegt der Limes dieser Teilfolge auch in [mm] [a_{1},b_{1}].
[/mm]
Grüße,
Stefan
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