Quader in Halbkugel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 So 09.09.2007 | | Autor: | Polana |
| Aufgabe | | Einer Halbkugel soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche einbeschrieben werden. Wie sind die Maße des Quaders zu wählen, wenn sein Volumen möglichst groß werden soll? |
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Hallo,
für den Quader gilt [mm] V=a^{2}*h, [/mm] jetzt müssen wir die Länge a und die Höhe h aus dem Radius der Halbkugel bestimmen:
1. Grundseite a:
zeichne dir einen Kreis mit Radius r, zeichne darein ein Quadrat mit Seitenlänge a, jetzt gilt im rechtwinkligen Dreieck [mm] a^{2}+a^{2}=(2r)^{2}
[/mm]
[mm] 2a^{2}=4r^{2}
[/mm]
[mm] a^{2}=2r^{2}
[/mm]
[mm] a=\wurzel{2}r
[/mm]
2. Höhe h.
zeichne dir einen Halbkreis (Ansicht der Halbkugel von vorne), zeichne darein ein Rechteck (Ansicht des Quaders von vorne)
jetzt erkennst du - der Radius r, die halbe Diagonale der Grundfläche und die Höhe h bilden ein rechtwinkliges Dreieck
[mm] r^{2}=h^{2}+(\bruch{d}{2})^{2} [/mm] die Strecke [mm] \bruch{d}{2} [/mm] ist die halbe Diagonale der Grundfläche, da kommst du über den Pythagoras ran, dann nach h umstellen
a und h in [mm] V=a^{2}*h [/mm] einsetzen
Führe jetzt die Extremwertbetrachtung durch,
Steffi
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