Q und p bei 2 Punktladungen < Elektrik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 10.04.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | Die Ladungsdichte [mm] \rho(\vec{r})=q_1*\delta(\vec{r})+q_2*\delta(\vec{r}-\vec{d}) [/mm] zweier Pnuktladungen [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] soll betrachtet werden. [mm] \vec{d} [/mm] sei gegeben und es ist [mm] q_1=-q [/mm] und [mm] q_2=q. [/mm] Berechne [mm] Q=\integral_{}^{}{d^3r \rho(\vec{r})} [/mm] und [mm] \vec{p}=\integral_{}^{}{d^3r \vec {r} \rho(\vec{r})}
[/mm]
Was geschieht, wenn beide Ladungen um Vektor [mm] \vec{a} [/mm] verschoben werden? |
Hi!
Ich wollte mein Ergebnis zu obiger Aufgabe von euch überprüfen lassen, weil ich mit den Eigenschaften der Delta-Funktion noch nicht so ganz klar komme...
Für Q und [mm] \vec{p} [/mm] ohne Verschiebung habe ich:
[mm] Q=\integral_{}^{}{q_1 \delta(\vec{r})+q_2\delta(\vec{r}-\vec{d})d^3r}=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r})d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d})d^3r}=q_1*1+q_2*1=-q+q=0
[/mm]
Da bin ich mir nicht sicher, ob [mm] \integral_{}^{}{\delta(\vec{r})d^3r}=1 [/mm] richtig ist; ich habe angenommen, dass die Verschiebung [mm] x_0 [/mm] bei [mm] \integral_{}^{}{(x-x_0)dx}=1 [/mm] ja auch 0 sein kann...
[mm] \vec{p}=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r})*\vec{r}d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d})*\vec{r}d^3r}
[/mm]
[mm] =q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r})*\vec{r}d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d})*\vec{d}d^3r}
[/mm]
[mm] =0*q_1+q_2*\vec{d}
[/mm]
Im 1. Schritt beziehe ich mich hier auf die Eigenschaft, dass [mm] f(x)*\delta(x-x_0)=f(x_0)*\delta(x-x_0) [/mm] ist...
Beim 2. Schritt habe ich [mm] \vec{d} [/mm] vor´s Integral gezogen und im ersten Integral [mm] -\integral_{a}^{b}{f´(x)*\delta(x-x_0) dx}=-f´(x_0) [/mm] verwendet. Da bei mir [mm] x_0=0 [/mm] ist, komme ich bei [mm] -f(x_0) [/mm] auch auf 0...
Bei der Verschiebung habe ich dann ja einmal [mm] \delta(\vec{r}-\vec{a}) [/mm] und einmal [mm] \delta(\vec{r}-\vec{d}-\vec{a}). [/mm] Ersteres habe ich wie oben behandelt und beim zweiten [mm] \vec{d}-\vec{a}=\vec{b} [/mm] gesetzt...
Habe ich da alles richtig gemacht, oder haben sich da Denkfehler eingeschlichen?
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe!!!!!!!
Grüße von mathiko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 10.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Ladungsdichte
> [mm]\rho(\vec{r})=q_1*\delta(\vec{r})+q_2*\delta(\vec{r}-\vec{d})[/mm]
> zweier Pnuktladungen [mm]q_1[/mm] und [mm]q_2[/mm] soll betrachtet werden.
> [mm]\vec{d}[/mm] sei gegeben und es ist [mm]q_1=-q[/mm] und [mm]q_2=q.[/mm] Berechne
> [mm]Q=\integral_{}^{}{d^3r \rho(\vec{r})}[/mm] und
> [mm]\vec{p}=\integral_{}^{}{d^3r \vec {r} \rho(\vec{r})}[/mm]
> Was
> geschieht, wenn beide Ladungen um Vektor [mm]\vec{a}[/mm] verschoben
> werden?
> Hi!
>
> Ich wollte mein Ergebnis zu obiger Aufgabe von euch
> überprüfen lassen, weil ich mit den Eigenschaften der
> Delta-Funktion noch nicht so ganz klar komme...
>
> Für Q und [mm]\vec{p}[/mm] ohne Verschiebung habe ich:
>
> [mm]Q=\integral_{}^{}{q_1 \delta(\vec{r})+q_2\delta(\vec{r}-\vec{d})d^3r}=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r})d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d})d^3r}=q_1*1+q_2*1=-q+q=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da bin ich mir nicht sicher, ob
> [mm]\integral_{}^{}{\delta(\vec{r})d^3r}=1[/mm] richtig ist; ich
> habe angenommen, dass die Verschiebung [mm]x_0[/mm] bei
> [mm]\integral_{}^{}{\delta(x-x_0)dx}=1[/mm] ja auch 0 sein kann...
Richtig.
> [mm]\vec{p}=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r})*\vec{r}d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d})*\vec{r}d^3r}[/mm]
>
> [mm]=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r})*\vec{r}d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d})*\vec{d}d^3r}[/mm]
> [mm]=0*q_1+q_2*\vec{d}[/mm]
Auch richtig, nur musst du noch [mm]q_1=-q[/mm] und [mm]q_2=q[/mm] einsetzen.
> Im 1. Schritt beziehe ich mich hier auf die Eigenschaft,
> dass [mm]f(x)*\delta(x-x_0)=f(x_0)*\delta(x-x_0)[/mm] ist...
> Beim 2. Schritt habe ich [mm]\vec{d}[/mm] vor´s Integral gezogen
> und im ersten Integral
> [mm]-\integral_{a}^{b}{f´(x)*\delta(x-x_0) dx}=-f´(x_0)[/mm]
> verwendet. Da bei mir [mm]x_0=0[/mm] ist, komme ich bei [mm]-f(x_0)[/mm] auch
> auf 0...
OK, aber etwas umständlich. Denn mit der gleichen Argumentation wie bei 2. Integral ist das erste
[mm] \integral_{}^{}{\delta(\vec{r})*\vec{r}d^3r} = \integral_{}^{}{\delta(\vec{r})*0\,d^3r} = 0[/mm]
> Bei der Verschiebung habe ich dann ja einmal
> [mm]\delta(\vec{r}-\vec{a})[/mm] und einmal
> [mm]\delta(\vec{r}-\vec{d}-\vec{a}).[/mm] Ersteres habe ich wie oben
> behandelt und beim zweiten [mm]\vec{d}-\vec{a}=\vec{b}[/mm]
> gesetzt...
Und was kommt dabei heraus?
Das sich die Gesamtladung durch eine Verschiebung nicht ändert, ist eigentlich klar, aber wie sieht das Dipolmoment nach der Verschiebung aus? Hängt das davon ab, dass die beiden Ladungen entgegengesetzt gleich sind?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Sa 10.04.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo Rainer!
Danke für deine schnelle Antwort!!!!!!!!!
> Und was kommt dabei heraus?
>
> Das sich die Gesamtladung durch eine Verschiebung nicht
> ändert, ist eigentlich klar, aber wie sieht das
> Dipolmoment nach der Verschiebung aus? Hängt das davon ab,
> dass die beiden Ladungen entgegengesetzt gleich sind?
Die Gesamtladung ist bei mir auch gleich geblieben:
[mm] Q=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{a})d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d}-\vec{a})d^3r}=q_1+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{b})d^3r}=q_1+q_2=0
[/mm]
Beim Dipolmoment habe ich:
[mm] \vec{p}=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{a})\vec{r}d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d}-\vec{a})\vec{r}d^3r}=q_1*\vec{a}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{b})\vec{b}d^3r}=q_1*\vec{a}+q_2*\vec{b}=-q*\vec{a}+q*\vec{b}=q*(\vec{b}-\vec{a})
[/mm]
Und wenn ich es mir so ansehe, hängt es davon ab, ob die Ladungen entgegengesetzt oder gleich sind, denn entweder addieren oder subtrahieren sich die Vektoren (hier: [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}).
[/mm]
Sollte so stimmen, oder?
Lg mathiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 So 11.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> >
> > Das sich die Gesamtladung durch eine Verschiebung nicht
> > ändert, ist eigentlich klar, aber wie sieht das
> > Dipolmoment nach der Verschiebung aus? Hängt das davon ab,
> > dass die beiden Ladungen entgegengesetzt gleich sind?
>
> Die Gesamtladung ist bei mir auch gleich geblieben:
>
> [mm]Q=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{a})d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d}-\vec{a})d^3r}=q_1+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{b})d^3r}=q_1+q_2=0[/mm]
Das passt,da immer [mm] $\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}^3 [/mm] r [mm] \, \delta(\vec{r}) [/mm] = 1$ gilt (und ob man nun [mm] $\vec{r} \rightarrow \vec{r}' [/mm] = [mm] \vec{r} [/mm] - [mm] \vec{a} \quad,\quad \vec{a}=\text{const}$ [/mm] verschiebt, ist ja nun auch egal, da die Grenzen die selben bleiben und sich dadurch das Integral nicht veraendert.
>
> Beim Dipolmoment habe ich:
>
> [mm]\vec{p}=q_1*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{a})\vec{r}d^3r}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{d}-\vec{a})\vec{r}d^3r}=q_1*\vec{a}+q_2*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}-\vec{b})\vec{b}d^3r}=q_1*\vec{a}+q_2*\vec{b}=-q*\vec{a}+q*\vec{b}=q*(\vec{b}-\vec{a})[/mm]
>
> Und wenn ich es mir so ansehe, hängt es davon ab, ob die
> Ladungen entgegengesetzt oder gleich sind, denn entweder
> addieren oder subtrahieren sich die Vektoren (hier: [mm]\vec{a}[/mm]
> und [mm]\vec{b}).[/mm]
> Sollte so stimmen, oder?
Da hat sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen:
Du hast doch jetzt die Ladungen um [mm] $\vec{a}$ [/mm] verschoben, d.h. [mm] $\vec{r} \rightarrow \vec{r} \pm \vec{a}$. [/mm] Wenn du das in die Def einsetzt, wie du es gemacht hast, kommt richtig fuer die Ladungsverteilung
[mm] $\rho(\vec{r}) [/mm] = [mm] q_1 \delta(\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] + [mm] q_2 \delta(\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{d})$
[/mm]
raus.
Wenn du das jetzt den zweiten Term abkuerzen willst durch [mm] $\vec{b}$, [/mm] dann ist deine Def. von [mm] $\vec{b}$ [/mm] um ein Vorzeichen falsch:
[mm] $\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vec{r} [/mm] - [mm] \underbrace{(\vec{a} + \vec{d})}_{=\vec{b}}$
[/mm]
Es gilt also mit deiner Abkuerzung
[mm] $\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b}$
[/mm]
Denn es gilt ja
[mm] $\int \mathrm{d}^3 [/mm] r [mm] \, \delta(\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{b}) \vec{r} [/mm] = [mm] \vec{b}$. [/mm]
d.h. du musst die Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] mit nem $-$-Zeichen davor beide ausklammern.
Mit der Abkuerzung kannst du dann das [mm] $\vec{b}$ [/mm] von oben nochmal einsetzen und dir das Ergebnis ansehen, und mit dem Ergebnis von vorher vergleichen, und dann nochmal die Frage beantworten, ob es einen Einfluss hat, ob [mm] $q_2 [/mm] = [mm] -q_1$ [/mm] ist, oder ob es einen Unterscheid machen wuerde, wenn dies i.A. nicht gilt. (Deine Antwort ist aber an sich auch schon richtig, ist aber wohl noch etwas zu allgemein).
LG
Kroni
>
> Lg mathiko
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 11.04.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo Kroni
> Wenn du das jetzt den zweiten Term abkuerzen willst durch
> [mm]\vec{b}[/mm], dann ist deine Def. von [mm]\vec{b}[/mm] um ein Vorzeichen
> falsch:
> [mm]\vec{r} - \vec{a} - \vec{d} = \vec{r} - \underbrace{(\vec{a} + \vec{d})}_{=\vec{b}}[/mm]
Okay, bis hierhin habe ich das verstanden und mich über diesen doofen Fehler geärgert(den ich auch bei Q gemacht habe). Aber dennoch bleibt doch [mm] \delta(\vec{r}-\vec{d}-\vec{a})=\delta(\vec{r}-\vec{b}). [/mm] Und damit habe ich ja gerechnet. Deshalb verstehe ich nicht ganz, was das an meiner weiteren Rechnung ändern sollte. Weil wenn das der Fall ist, sind auch alle anderen Rechnungen falsch...
> Es gilt also mit deiner Abkuerzung
>
> [mm]\vec{b} = \vec{a} + \vec{b}[/mm]
Meinst du [mm] \vec{b}=\vec{a}+\vec{d}, [/mm] weil sonst ist es mir nicht klar wie du darauf kommst.
> Denn es gilt ja
> [mm]\int \mathrm{d}^3 r \, \delta(\vec{r} - \vec{b}) \vec{r} = \vec{b}[/mm].
Stimmt. Habe ich ja auch schon verwendet ;)
> d.h. du musst die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] mit nem
> [mm]-[/mm]-Zeichen davor beide ausklammern.
Hier kann ich dir leider nicht ganz folgen. Wo soll ich ausklammern?
> Mit der Abkuerzung kannst du dann das [mm]\vec{b}[/mm] von oben
> nochmal einsetzen ...
Auch hier ist mir nicht klar worauf du dich beziehst, sorry :( Wo muss ich [mm] \vec{b} [/mm] einsetzen?
Gruß mathiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mo 12.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
sorry, dass meine Erklaerung nicht ganz schluessig war.
Bei der Abkuerzung vom [mm] $\vec{b}$ [/mm] muss [mm] $\vec{b}=\vec{a}+\vec{d}$ [/mm] stehen, da habe ich mich vertippt.
> [mm]\delta(\vec{r}-\vec{d}-\vec{a})=\delta(\vec{r}-\vec{b}).[/mm]
> Und damit habe ich ja gerechnet. Deshalb verstehe ich nicht
> ganz, was das an meiner weiteren Rechnung ändern sollte.
Ueberall, wo du nur mit [mm] $\vec{b}$ [/mm] rechnest, bleibt alles selbstverstaendlich gleich, weil es ja erstmal egal ist, wie [mm] $\vec{b}$ [/mm] definiert ist.
>
> > d.h. du musst die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] mit nem
> > [mm]-[/mm]-Zeichen davor beide ausklammern.
>
> Hier kann ich dir leider nicht ganz folgen. Wo soll ich
> ausklammern?
Das sollte nur ein Hinweis dafuer sein, dass $a-b-c = a- (b+c)$ ist, da hast du bei deiner ersten Rechnung vergessen, das zweite $-$ vor dem c mit auszuklammern, worueber du dich ja schon geaergert hast. Das meinte ich damit, dass du beide Minuszeichen ausklammern musst.
>
> > Mit der Abkuerzung kannst du dann das [mm]\vec{b}[/mm] von oben
> > nochmal einsetzen ...
>
> Auch hier ist mir nicht klar worauf du dich beziehst, sorry
> :( Wo muss ich [mm]\vec{b}[/mm] einsetzen?
Nun, in deinem Endergebnis fuer das Diplomoment [mm] $\vec{p}$ [/mm] kommt dann sowas raus wie
[mm] $\vec{p} [/mm] = [mm] q_1 \vec{a} [/mm] + [mm] q_2 \vec{b}$
[/mm]
bzw. wenn du $q = [mm] q_1 [/mm] = [mm] -q_2$ [/mm] einsetzt
[mm] $\vec{p} [/mm] = q [mm] (\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b})$
[/mm]
Hier kannst bzw solltest du wieder die Abkuerzung [mm] $\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{d}$ [/mm] einestzen, um wieder einen Ausdruck zu haben, der nur von deinen bekannten Groessen, also [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{d}$ [/mm] abhaengt. Dann kannst du mit dem ersten Ergebnis vergleichen, wo du die eine Ladung im Ursprung platziert hast, wo also [mm] $\vec{a} [/mm] = 0$ gilt und den Unterschied feststellen.
Die letzte Frage bezog sich dann darauf, ob das Ergebnis allgemein gilt, auch wenn die Vorraussetzung [mm] $q_1 [/mm] = - [mm] q_2$ [/mm] nicht gilt.
Ich hoffe, dass diese Ausfuehrung verstaendlicher ist 
LG
Kroni
>
> Gruß mathiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:42 Di 13.04.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo Kroni!
Ja, das war sehr viel verständlicher (, aber vermutlich auch genauer, als du es ursprünglich erläutern wolltest)
Ganz großes Danke!!!!!!!
Ich bekomme dann letzendlich heraus, dass sich das Dipolmoment nicht ändert, weil [mm] \vec{a} [/mm] beim Einsetzen verschwindet ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Di 13.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
>
> Ja, das war sehr viel verständlicher
Das freut mich
>
> Ganz großes Danke!!!!!!!
Kein Problem, freut mich, dass es dir geholfen hat
>
> Ich bekomme dann letzendlich heraus, dass sich das
> Dipolmoment nicht ändert, weil [mm]\vec{a}[/mm] beim Einsetzen
> verschwindet ;)
Genau. Das haette es naemlich nicht getan, wenn du deine urspruengliche Def. vno [mm] $\vec{b}$ [/mm] eingesetzt haettest.
So gesehen macht das ganze dann auch 'Sinn', weil das Dipolmoment ja sogesehen eine charakteristische Groesse eines Dipols ist, die ja nur von der Ladung $q$ und des Verbindungsvektor [mm] $\vec{d}$ [/mm] abhaengt, und da waere es ja schon merkuwerdig, wenn sich eine Eigenschaft des Dipols aendern wuerde, wenn man beide Ladungen um den selben Vektor verschiebt. Deshalb ist diese Loesung auch in dem Sinne sehr beruhigend.
LG
Kroni
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