QR-Zerlegung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mi 19.12.2007 | | Autor: | user0009 |
| Aufgabe | Man gebe die QR-Zerlegung der Matrix an.
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -2 \\ 2 & 0 } [/mm] |
Hallo!
Ich möchte die QR-Zerlegung der oben angegeben Matrix berechnen.
Ich habe daher 2 Vektoren aus der Matrix gemacht und diese mit Gram-Schmidt zu orthonormieren begonnen. Allerdings muss ich das etwas falsch machen, da sehr seltsame Werte heraus kommen.
v1= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] und v2= [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
Nun orthonormiere ich v1 mit Gram-Schmidt:
q1= [mm] \bruch{1}{\parallel v1 \parallel} [/mm] * v1
Hier für bekomme ich [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] heraus.
u2= v2 - <v2,q1>*q1 = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] - [mm] <\vektor{1 \\ -2 \\ 0}, \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}>*\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}=
[/mm]
[mm] \vektor{\bruch{7}{9} \\ -\bruch{17}{9} \\ \bruch{2}{9}}
[/mm]
--> q2 = [mm] \bruch{1}{\parallel u2 \parallel} [/mm] * u2 = [mm] \wurzel{4,2}*\vektor{\bruch{7}{9} \\ -\bruch{17}{9} \\ \bruch{2}{9}}.
[/mm]
Wenn ich dann den q1 und q2 in eine Matrix umschreibe, dann würde ich bei q2 seltsame Werte hinschreiben müssen.
Habe ich q2 richtig gerechnet oder rechnet man bei einer 2x3 Matrix die QR-Zerlegung anders?
Vielen Dank für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Nun orthonormiere ich v1 mit Gram-Schmidt:
>
> q1= [mm]\bruch{1}{\parallel v1 \parallel}[/mm] * v1
>
> Hier für bekomme ich [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> bzw. [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] heraus.
>
> u2= v2 - <v2,q1>*q1 = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm] - [mm]<\vektor{1 \\ -2 \\ 0}, \bruch{1}{3}[/mm]
> * [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}>*\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}=[/mm]
>
> [mm]\vektor{\bruch{7}{9} \\ -\bruch{17}{9} \\ \bruch{2}{9}}[/mm]
>
> --> q2 = [mm]\bruch{1}{\parallel u2 \parallel}[/mm] * u2 =
> [mm]\wurzel{4,2}*\vektor{\bruch{7}{9} \\ -\bruch{17}{9} \\ \bruch{2}{9}}.[/mm]
Hallo,
Du hast Dich verrechnet.
Bei [mm] <\vektor{1 \\ -2 \\ 0}, \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}> [/mm] kommt doch Null heraus.
Wenn Du im Vorfeld richtig hinschaust, siehst Du, daß Deine Vektoren bereits orthogonal sind, Du sie also nur noch normieren mußt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
