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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:07 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laserua |
| Aufgabe | Für die Zeit t=0 ist das System im Zustand
[mm] \psi(x,t=0)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_0(x)+\psi_1(x)).
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] \psi(x,t).
[/mm]
[mm] (\psi_0(x) [/mm] und [mm] \psi_1(x) [/mm] sind exakt angegeben) |
Hallo,
ich komme bei obiger Altklausuraufgabe leider überhaupt nicht weiter.
Es wäre total super, wenn mir vielleicht jemand einen Tipp geben könnte, wie ich die Wellenfunktion [mm] \psi(x,t) [/mm] bestimmen kann. Habe bisher leider immer nur zeitunabhänginge Schrödingergleichungen gelöst.
Vielen Dank schon mals!
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Hallo Laserua,
die Schrödingergleichung [mm] $i\hbar\partial_t \psi(x, [/mm] t) = [mm] \hat{H}\psi(x, [/mm] t)$ löst man durch den Separationsansatz [mm] $\psi(x, [/mm] t) = [mm] \psi(x)\cdot [/mm] f(t)$ und Trennung der Variablen. Damit bekommt man stationäre Lösungen [mm] $\psi(x)f(t)$.
[/mm]
Die gesuchte Lösung [mm] $\psi(x,t)$ [/mm] ist dann schlicht die normierte Superposition zweier stationärer Lösungen, die man mit Hilfe von [mm] $\psi_0(x)$ [/mm] und [mm] $\psi_1(x)$ [/mm] findet.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laserua |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort! Das hilft mir wirklich schon sehr weiter.
Habe das gerade auch nochmals in einem Buch nachgelesen und gesehen, dass man dann folgende Lösungen bekommt:
f(t)=A [mm] \cdot e^{- i \omega t}
[/mm]
und
[mm] \psi(x)= \alpha \cdot e^{i k x}
[/mm]
mit [mm] k^2=\frac{2 m}{\hbar^2} (\hbar \omega [/mm] - [mm] V_0)
[/mm]
Das ist soweit auch alles verständlich, nur verstehe ich jetzt nicht so ganz, wie ich bei diesem Problem auf die Lösung komme mit Hilfe der Wellenfunktionen [mm] \psi_0(x) [/mm] und [mm] \psi_1(x) [/mm] die angegeben sind und [mm] \psi(x,t=0). [/mm]
Wäre super, wenn du mir vielleicht nochmals helfen könntest.
Danke schon mal!
Gruß,
Laserua
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Hallo Laserua,
wenn [mm] $\psi_1(x)$ [/mm] eine Lösung der stationären Schrödingergleichung ist,
dann ist [mm] $\psi_1(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_1t}$ [/mm] eine stationäre Lösung der Schrödingergleichung [mm] ($E_1$ [/mm] ist eine Separationskonstante und die zugehörige Energie). Die Summe zweier stationärer Lösungen ist eine Lösung. Wenn man die normiert und $t = 0$ setzt, erhält man [mm] $\psi(x,t=0)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_0(x)+\psi_1(x))$. [/mm] Wie sieht also [mm] $\psi(x,t)$ [/mm] aus? Stationäre Lösungen haben eine scharf definierte Energie. Das System befindet sich also in einem Zustand, der eine Überlagerung von zwei stationären Zuständen ist.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laserua |
Hallo Mathfunnel,
dankeschön für deine Antwort. Ich glaube, ich habe das Prinzip jetzt verstanden.
Die Wellenfunktion müsste dann lauten:
[mm] \psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\psi_0(x) \cdot e^{-\frac{i}{\hbar} E_0 t} [/mm] + [mm] \psi_1(x) \cdot e^{-\frac{i}{\hbar} E_1 t})
[/mm]
Mit [mm] E_n=\hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right)
[/mm]
Also
[mm] E_0=\hbar \omega \cdot \frac{1}{2} [/mm]
und
[mm] E_1 [/mm] = [mm] \hbar \omega \cdot \frac{3}{2}
[/mm]
Ich hoffe, ich liege damit jetzt richtig.
Gruß,
Laserua
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Hallo Laserua,
das sieht gut aus.
Ob die beteiligten Oszillatorenergien die Nullpunktsenergie [mm] $\hbar \omega \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\hbar \omega \frac{3}{2}$ [/mm] sind, sehe ich nicht an der Aufgabenstellung, ist aber möglich oder sogar wahrscheinlich, falls die Indizes $0$ und $1$ auf den Index $n$ verweisen.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laserua |
Ok super, vielen Dank nochmals!
Hatte da nämlich schon ewig selber überlegt und bin einfach nicht weitergekommen.
Gruß,
Laserua
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