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Forum "Physik" - QM Erwartungswert
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QM Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Di 20.03.2012
Autor: volk

Hallo,
ich möchte verstehen, dass die Observablen in der QM durch hermitesche Operatoren beschrieben werden. Die Observablen sind ja reell, da sie ja messbare, beobachtbare Größen sind.
Es gilt ja erstmal:
[mm] <\hat{A}>:=<\psi|\hat{A}|\psi>=<\psi|\hat{A}|\psi>^{\dag} [/mm]
Hier jetzt meine Frage, wieso wird der Erwartungswert hermitesch adjungiert?
Ist das eine Forderung daran, dass der Wert reell sein muss?

Viele grüße,

volk
        
Bezug
QM Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:01 Mi 21.03.2012
Autor: QCO

Ein hermitscher Operator ist selbstadjungiert, d.h. [mm]A = A^{\dag}[/mm].
Für den Erwartungswert [mm][/mm] gilt:
[mm] = <\psi | A | \psi> = <\psi | A \psi>[/mm]. Wir haben also formal den Operator A auf den rechten Ket-Zustand Psi angewandt (und nennen das Ergebnis einfach mal [mm]|A \psi>[/mm] ohne uns darum zu kümmern, wie dieser Zustand konkret aussieht.

Wegen [mm]A = A^{\dag}[/mm] gilt dann aber auch [mm] = <\psi | A | \psi> = <\psi | A^{\dag} | \psi> = = (<\psi | A \psi>)^{\*}[/mm]
* meint das konjungiert komplexe.
Der adjungierte Operator zu A wirkt also auf den "linken" bra-Zustand; das Ergebnis nennen wir wieder formal einfach [mm] Wenn aber [mm]<\psi | A \psi>^{\*} = <\psi | A \psi>[/mm], dann ist [mm]<\psi | A \psi>[/mm] reell.
Bezug
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