Pyramide/Würfel allgemein < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Guten Morgen,
und mal wieder bin ich mir unsicher. Ist irgendwie immer so, bei so allgemeinen Aufgaben, also ich mein Aufgaben in denen ich nicht direkt mit Zahlen rechnen kann!
Die Aufgabe hab ich dieses Mal komplett unten angehängt, weil ich ehrlich gesagt schon lange genug brauche um hier überhaupt meinen Rechenweg einigermaßen verständlich einzutippen... 
Meine Rechnung:
a) [mm] h_{Gesamt}=h_1+h_2 h_1=a
[/mm]
[mm] h_2 [/mm] berechnen:
[mm] (h_2)^2=a^2-(0,5a)^2
[/mm]
[mm] h_2=\wurzel{0,75a^2}
[/mm]
[mm] h_{Gesamt}=a+\wurzel{0,75a^2}
[/mm]
[mm] V_{Gesamt}=V_{Pyramide}+V_{Würfel}
[/mm]
[mm] V_G=\bruch{1}{3}*a^2*\wurzel{0,75a^2}+a^3
[/mm]
okay, dann jetzt den Oberflächeninhalt
[mm] O_{Quadrat}=5a^2
[/mm]
Für den Oberflächeninhalt der Pyramide muss ich 4mal die Seitenfläche berechnen und dafür brauch ich [mm] h_a
[/mm]
Aber wenn ich das wieder mit dem Satz des Pythagoras mach, kommt da bei mir ja wieder [mm] h_a=\wurzel{0,75a^2} [/mm] raus.
Und das verunsichert mich, weil [mm] h_a [/mm] doch eigentlich länger sein müsste als [mm] h_2 [/mm] ......
Aber ich rechne trotzdem mal weiter:
[mm] O_{1Seitenfläche}=0,5*a*\wurzel{0,75a^2}
[/mm]
[mm] O_{Gesamt}=5a^2+2a*\wurzel{0,75a^2}
[/mm]
b) [mm] V_{gr.Pyramide}=\bruch{1}{3}*a^2*(a+ \wurzel{0,75a^2})
[/mm]
dann brauch ich wieder die Seitenfläche, und somit die höhe der seitenfläche, die ich dieses mal [mm] h_s [/mm] genannt hab. und um [mm] h_s [/mm] berechnen zu können brauch ich Seitenkante x
[mm] x^2=h^2+(0,5a)^2
[/mm]
[mm] x=\wurzel{h^2 +0,25a^2}
[/mm]
[mm] (h_s)^2=x^2-(0,5a)^2
[/mm]
[mm] h_s=\wurzel{x^2 - 0,25a^2}
[/mm]
[mm] h_s=\wurzel{ (h^2+0,25a^2)- 0,25a^2}
[/mm]
und hier taucht wieder ein Problem auf, denn wenn ich das zusammenfass hätte ich ja [mm] h_s=h [/mm] und das kann ja nicht sein. Dh irgendwo am Anfang hab ich nen riesengroßen Fehler gemacht, aber ich kann ihn einfach nicht finden!!!
Trotzdem weiter im Text:
[mm] O_{gr. Pyramide}=a^2+2ah
[/mm]
bevor ich die c jetzt auch noch abschreib, würd ich lieber erstmal wissen wo ich was falsch gemacht hab, weil das stimmt ja alles hinten und vorne nicht!!!!
Bin wirklich am verzweifeln...
Liebe Grüße, Kati
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
leider ist dir bei [mm] h_2 [/mm] ein Fehler unterlaufen, der sich dann durch die ganze Aufgabe zieht;
Flächendiagonale e des Würfels: [mm] e=\wurzel{2a^{2}}=\wurzel{2}a
[/mm]
halbe Flächendiagonale: [mm] \bruch{e}{2}=\bruch{\wurzel{2}}{2}a
[/mm]
[mm] a^{2}=(h_2)^{2}+(\bruch{e}{2})^{2}
[/mm]
[mm] h_2=\wurzel{a^{2}-(\bruch{e}{2})^{2}}=\wurzel{a^{2}-(\bruch{\wurzel{2}}{2}a
)^{2}}
[/mm]
[mm] h_2=\wurzel{a^{2}-\bruch{2}{4}a^{2}}=\wurzel{\bruch{1}{2}a^{2}}
[/mm]
[mm] h_2=\bruch{a}{\wurzel{2}}
[/mm]
somit ist [mm] h_g_e_s=a+\bruch{a}{\wurzel{2}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Das hat ich schon befürchtet.... Danke steffi!
Stimmt das so jetzt??????
Also, mein gesamtes Volumen:
V= [mm] a^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*a^2*\bruch{a}{\wurzel{2}}
[/mm]
Mein gesamter Oberflächeninhalt müsste dann ja gleichgeblieben sein:
O= [mm] 5a^2+ 2a*\wurzel{0,75a^2}
[/mm]
Das Volumen der innenliegenden Pyramide:
V= [mm] \bruch{1}{3}*a^2*(a+\bruch{a}{\wurzel{2}}
[/mm]
Oberflächeninhalt:
[mm] x^2=h^2 [/mm] + [mm] (0,5a)^2
[/mm]
x= [mm] \wurzel{(a+\bruch{a}{\wurzel{2}}^2 + (0,5a)^2}
[/mm]
[mm] (h_s)^2=x^2 [/mm] - [mm] 0,25a^2
[/mm]
[mm] h_s= \wurzel{a+\bruch{a}{\wurzel{2}}}
[/mm]
O= [mm] a^2 [/mm] + [mm] 2a*\wurzel{a+\bruch{a}{\wurzel{2}}}
[/mm]
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hallo,
das Volumen des Gesamtkörpers ist korrekt, eventuell noch zusammenfassen:
[mm] V=a^{3}+\bruch{a^{3}}{3\wurzel{2}}
[/mm]
bei der Oberfläche hast du richtig [mm] 5a^{2}, [/mm] dazu kommen 4 Dreiecke, allgemein gilt für ein Dreieck [mm] A=\bruch{1}{2}gh_g, [/mm] die Grundseite ist a, bei [mm] h_g [/mm] darfst du aber nicht die Körperhöhe der Pyramide einsetzen, es handelt sich dabei um die Höhe der Seitenfläche, von der Mitte der Seite a zur Spitze, nennen wir diese Höhe [mm] h_s, h_s [/mm] kannst du über den Pythagoras berechnen die Hypotenuse ist [mm] h_s, [/mm] eine Kathete ist [mm] h_2, [/mm] die andere Kathete ist [mm] \bruch{a}{2}, [/mm] dann gilt, [mm] (h_s)^{2}=(h_2)^{2}+(\bruch{a}{2})^{2}, [/mm] Formel für [mm] h_2 [/mm] einsetzen, das dann nach [mm] h_s [/mm] umstellen, dann in [mm] A_o=5a^{2}+4\bruch{1}{2}ah_s [/mm] einsetzen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Aber genau das hab ich doch gemacht!!!!!!
Dein Ergebnis: [mm] 5a^2 [/mm] + 4* 0,5*a* [mm] h_s [/mm]
Mein Ergebnis: [mm] 5a^2+ [/mm] 2*a* [mm] \wurzel{a+\bruch{a}{\wurzel{2}} } [/mm]
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Achtung Achtung,
du verwechselst einige Höhen:
[mm] h_1 [/mm] - Höhe des Würfels
[mm] h_2 [/mm] - Höhe der Pyramide
[mm] h_s [/mm] - Höhe der Seitenfläche, die hast du sogar in deiner Skizze gestrichelt eingezeichnet, vom Mittelpunkt der Strecke FG zur Spitze S, diese Höhe [mm] h_s [/mm] brauchst du zur Berechnung der Fläche der vier Dreiecke,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Aber so hab ich das doch gemacht! Ich bin mir auch bewusst welche höhe was bezeichnet...
für [mm] h_s [/mm] hab ich dann rausbekommen:
[mm] h_s= \wurzel{a+\bruch{a}{\wurzel{2}}}
[/mm]
und das hab ich dann eingesetzt und so kam ich dann auf:
O= [mm] 5a^2 [/mm] + 2a* [mm] \wurzel{a+\bruch{a}{\wurzel{2}}}
[/mm]
Was hab ich denn da dann schon wieder falsch gemacht????
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Nochmals hallo,
ich vermute, du hast einige Quadrate vermehrt, die richtige Höhe hast du ja erkannt, machen wir Pythagoras:
[mm] (h_s)^{2}=(h_2)^{2}+(\bruch{a}{2})^{2}
[/mm]
[mm] (h_s)^{2}=(\bruch{a}{\wurzel{2}})^{2}+(\bruch{a}{2})^{2}
[/mm]
[mm] (h_s)^{2}=\bruch{a^{2}}{2}+\bruch{a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] (h_s)^{2}=\bruch{2a^{2}}{4}+\bruch{a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] (h_s)^{2}=\bruch{3a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] h_s=\wurzel{\bruch{3a^{2}}{4}}=\bruch{\wurzel{3}a}{2}
[/mm]
Diese Höhe [mm] h_s [/mm] mußt du in die Formel für die Oberfläche einsetzen.
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, der weg ist mir klar, und die rechnung hab ich auch verstanden.
ich hab versucht die höhe [mm] h_s [/mm] anders auszurechnen, leider auch ein bisschen umständlicher, fällt mir zumindest jetzt auf.
Auch wenn ich jetzt den schnelleren, einfacheren Weg kenn, würd ich gern wissen was ich an meinem Weg falsch gemacht habe.
Ich erklär nochmal kurz wie ich vorgegangen bin, wie gesagt, ist mir jetzt grad ein bisschen peinlich,weils doch sehr umständlich war
Ich hab nur die Seitenfläche betrachtet, also ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite a und den beiden Seitenkanten s. Die Höhe war [mm] h_s.
[/mm]
dann hab ich zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Seitenkante s ausgerechnet.
[mm] s^2 [/mm] = [mm] h^2 [/mm] + [mm] 0,5*a^2
[/mm]
Ahhhh, hab meinen Fehler grad selbst gemerkt
Die halbe Flächendiagonale ist ja nicht 0,5a sondern [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}*a
[/mm]
Alles klar, jetzt stimmts, so komm ich auch auf dein Ergebnis!
Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
Und Entschuldigung,dass ich vorhin dauernd daraus bestanden hab,dass ich das ja so gemacht hab!
Liebe Grüße,
KAti
PS :Ach so, nur nochmal schnell zur Kontrolle
O= [mm] a^2* \wurzel{3} [/mm] ?
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Hallo,
noch ein ganz wichtiger Hinweis, ich sagte ja vorhin, du hast die Quadrate vermehrt, du schreibst:
$ [mm] s^2 [/mm] $ = $ [mm] h^2 [/mm] $ + $ [mm] 0,5\cdot{}a^2 [/mm] $
hier haben wir die Stelle, 0,5a muss in Klammern, dann quadrieren,
steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Nee, das hab ich hier zwar so geschrieben, aber nur um mir ne klammer zu sparen, weil ich dann auch schon gemerkt hab wo mein fehler war. auf meinem Zettel hab ich das anders stehen,da wirds dann zu [mm] 0,25a^2. [/mm]
trotzdem danke für den hinweis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Ich hab grad gemerkt,dass da immer noch nicht alles stimmt, weil ich den selben Fehler (mit der halben Flächendiagonale) auch bei der Berechnung des Oberflächeninhalts des Körpers gemacht hab.
Der O des Würfels ist ja klar [mm] (6a^2), [/mm] mein Problem liegt bei dem O der Pyramide
Ich brauch ja die Höhe [mm] h_a [/mm] der Seitenfläche.
Die krieg ich mit dem Satz des Pythagoras.
[mm] (h_a)^2= (h_2)^2 [/mm] + [mm] (\bruch{\wurzel{2}}{2}*a)^2
[/mm]
[mm] (h_a)^2= (\bruch{\wurzel{a}}{2}*a)^2 [/mm] + [mm] (\bruch{\wurzel{2}}{2}*a)^2
[/mm]
[mm] h_a= 0,25*a^3 [/mm] + [mm] 0,5*a^2
[/mm]
stimmt das soweit?
Somit wäre 1 Seitenfläche: [mm] 0,5*(0,25*a^3 [/mm] + [mm] 0,5*a^2)*a
[/mm]
Die Oberfläche der Pyramide: [mm] 4*(\bruch{1}{8}a^4+\bruch{1}{4}a^3)
[/mm]
O (Gesamt)= [mm] 0,5a^4 [/mm] + [mm] a^3 [/mm] + [mm] 6a^2
[/mm]
Stimmt das? Oder haben sich schon wieder ganz viele fehler eingeschlichen?
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erneut hallo,
es stimmt leider erneut nicht, stelle dir vor a=5cm (a ist eine Länge)
1.) du gibst Längen in [mm] cm^{2} [/mm] und [mm] cm^{3} [/mm] an, immer cm
2.) du gibst Flächen in [mm] cm^{3} [/mm] und [mm] cm^{4} [/mm] an, immer [mm] cm^{2} [/mm]
schaue mal in meinen 4. Post, da steht die Berechnung für die Höhe der Seitenfläche [mm] h_s,
[/mm]
steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, ich hab meinen fehler jetzt erkannt. ich brauch um [mm] h_a [/mm] zu berechnen ja gar nicht die Hälfte der Diagonalen, sondern die Hälfte von a.
Aber du hast auch einen Fehler gemacht. Du hast in deinem 4. Beitrag nämlich gar nicht [mm] h_2 [/mm] berechnet, sondern [mm] h_a, [/mm] dass was ich grad berechnen wollte.
für [mm] h_s [/mm] braucht man ja die gesamte höhe und du hast da nur mit [mm] h_2 [/mm] gerechnet, oder seh ich das jetzt falsch?
Mein gesamter Oberflächeninhalt ist somit übrigens:
[mm] 6a^2 [/mm] + [mm] \wurzel{3} a^2
[/mm]
Und der Oberflächeninhalt der innenliegenden Pyramide
[mm] \wurzel{7}a^2 [/mm] + [mm] a^2
[/mm]
Stimmt das?????????????
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Hallo,
der Oberflächeninhalt von Würfel und Pyramide ist nur:
[mm] V_g_e_s=5a^{2}+\wurzel{3}a^{2}
[/mm]
wenn du nur einen Würfel berechnen würdest, hättest du mit [mm] 6a^{2} [/mm] die richtige Lösung, bedenke aber, auf der 6. Fläche des Würfels steht die Pyramide drauf, also kommen in die Rechnung nur [mm] 5a^{2}!
[/mm]
Um die Oberfläche der innenliegenden Pyramide zu berechnen, brauchst du erst die Länge der Seitenflächenhöhe, die verläuft vom Mittelpunkt der Strecke BC zur Spitze S, in meinem Post von vorhin habe ich dir den Rechenweg gezeigt, um die Seitenflächenhöhe der aufgestzten Pyramide zu berechnen, die Seitenflächenhöhe der innenliegenden Pyramide lautet:
[mm] h_s_2=\bruch{a}{2}\wurzel{7+4\wurzel{2}}, [/mm] darauf kommst du wieder mit dem Pythagoras, Hypotenuse ist die Seitenflächenhöhe [mm] h_s_2, [/mm] Katheten sind [mm] \bruch{a}{2} [/mm] und die Gesamthöhe [mm] a+\bruch{a}{\wurzel{2}},
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Muss jetzt leider schon wieder behaupten,dass ich das so gemacht hab!
Zum O des gesamten Körpers. Da widersprech ich dir. ich bin der Meinung,dass es [mm] 6a^2 [/mm] sind. Denn bei der Pyramide hab ich extra die Grundfläche weggelassen und nur die 4 Seitenflächen als Oberflächeninhalt genommen, wie du ja anhand meiner Rechnung sehen müsstest.
Zur Gesamtoberfläche:
Das hab ich meiner Meinung genauso gemacht wie du es mir jetzt zu erklären versuchst.
[mm] (h_s)^2 [/mm] = [mm] (a+\bruch{a}{\wurzel{2}})^2 [/mm] + [mm] (0,5a)^2
[/mm]
da komm ich jetzt aber auf : [mm] h_2= \wurzel{7}*a*0,5 [/mm] bzw [mm] \wurzel{1,75}a
[/mm]
ich kann nicht ganz nachvollziehen wie du da auf dein Ergebnis kommst?
Vielleicht kannst du mir das kurz erläutern?
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wir werden es doch noch schaffen,
es sind aber doch nur 5 [mm] a^{2}!!! [/mm] Wenn auf dem Würfel die Pyramide steht, kannst du doch nur 5 Flächen vom Würfel anfassen!!! die 6. Fläche entfällt in der Rechnung, da steht doch die Pyramide drauf!!!
Der Ansatz für die Seitenflächenhöhe ist prima, hast du beim Rechnen bedacht, dass [mm] (a+\bruch{a}{\wurzel{2}})^{2} [/mm] die 1. Binomische Formel ist, dann kommst du auch auf mein Ergebnis,
steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Ahhh, jetzt hats klick gemacht!!!
Was Oberflächeninhalt bedeutet hab ich da total ignoriert und immer nur drauf geachtet,dass ich die Fläche net doppelt zähl...
Okay, da hab ich dann nicht an die 1. Binomische Formel gedacht!
Aber ich komm da dann mit dem Umformen nicht weiter, ich mach da wieder irgendwas falsch, ich komm da nicht auf dein Ergebnis.
Kannst du da grad mal drüber gucken wo ich das was falsch zusammengefasst hab?
[mm] (h_s)^2 [/mm] = (a + [mm] \bruch{a}{\wurzel{2}})^2 [/mm] + [mm] (0,5a)^2
[/mm]
[mm] (h_s)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2a* [mm] \bruch{a}{\wurzel{2}} +(\bruch{a}{\wurzel{2}})^2 [/mm] + [mm] (0,5a)^2
[/mm]
[mm] (h_s)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] \bruch{3a^2}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] 0,25a^2
[/mm]
[mm] h_s= \wurzel{\bruch{5}{4}a^2 + \bruch{3a^2}{\wurzel{2}}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
sorry, habs aus versehen als mitteilung geschrieben und find nicht wo ich das ändern kann. der vorherige Artikel ist natürlich eine frage
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 07.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] h_{s}²= [/mm] (a [mm] +\bruch{a}{\wurzel{2}})^2+(0,5a)^2
[/mm]
[mm] h_{s}²= a^2+2a*\bruch{a}{\wurzel{2}}+(\bruch{a}{\wurzel{2}})^2+(0,5a)^2 [/mm]
Und hier ist der Dreher
> [mm] (h_s)^2=a^2 [/mm] + $ [mm] \bruch{3a^2}{\wurzel{2}} [/mm] $ [mm] +0,25a^2 [/mm] $
ist falsch
Stattdessen:
[mm] h_{s}²=a²+\bruch{2a²}{\wurzel{2}}+\bruch{a²}{2}+\bruch{a²}{4}
[/mm]
[mm] \gdw h_{s}²=\bruch{4a²}{4}+\bruch{2\wurzel{2}a²}{2}+\bruch{2a²}{4}+\bruch{a²}{4}
[/mm]
[mm] \gdw h_{s}²=\bruch{4a²+4\wurzel{2}a²+2a²+a²}{4}
[/mm]
[mm] \gdw h_{s}²=\bruch{4\wurzel{2}a²+7a²}{4}
[/mm]
...
Jetzt klarer?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, nach den beiden ausführlichen Erklärungen hab selbst ich dorfdepp es verstanden! Vielen lieben Dank euch beiden!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Steffi21 |
will ich dir noch mal helfen, bevor du ganz verzweifelst:
bis hier korrekt
[mm] (h_s_2)^{2}=a^{2}+2a\bruch{a}{\wurzel{2}}+(\bruch{a}{\wurzel{2}})^{2}+(\bruch{a}{2})^{2}
[/mm]
[mm] (h_s_2)^{2}=a^{2}+\bruch{2a^{2}}{\wurzel{2}}+\bruch{a^{2}}{2}+\bruch{a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] (h_s_2)^{2}=a^{2}+\wurzel{2}a^{2}+\bruch{2a^{2}}{4}+\bruch{a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] (h_s_2)^{2}=a^{2}+\wurzel{2}a^{2}+\bruch{3a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] (h_s_2)^{2}=a^{2}(1+\wurzel{2}+\bruch{3}{4})
[/mm]
[mm] (h_s_2)^{2}=a^{2}(\bruch{7}{4}+\wurzel{2})
[/mm]
[mm] h_s_2=\wurzel{a^{2}(\bruch{7}{4}+\wurzel{2})}
[/mm]
[mm] h_s_2=a\wurzel{(\bruch{7}{4}+\wurzel{2})}
[/mm]
[mm] h_s_2=a\wurzel{\bruch{7}{4}+\bruch{4\wurzel{2}}{4}}
[/mm]
[mm] h_s_2=a\wurzel{\bruch{7+4\wurzel{2}}{4}}
[/mm]
[mm] h_s_2=\bruch{a}{2}\wurzel{7+4\wurzel{2}}
[/mm]
jetzt hast du sicherlich den Rechenweg verfolgen können, kann natürlich sein, wenn ihr es auf eurer Schule vergleicht, kommt etwas "anderes" raus, das unterscheidet sich dann aber nur in der Schreibweise!!
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 07.02.2007 | | Autor: | kati93 |
entschuldigung,dass ich nochmal nerven muss, aber ich hab das jetzt grad nochmal alles sortiert und wollte die Nr. c machen. Mit dem Volumen,das klappt alles wunderbar, aber wenn ich mir die Oberflächeninhalte vom Körper und von der Pyramide anguck, kommt mir das irgendwie spanisch vor. Aber ich versteh das nicht,weil ihr mir ja immer geholfen habt....
ich wüsste einfach nicht wo ich da jetzt noch nen fehler machen konnte...
Aber wenn ich das miteinander vergleich...:
O (Körper)= [mm] 5a^2 [/mm] + [mm] \wurzel{3}a^2
[/mm]
O (Pyramide-innen)= [mm] a^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] * [mm] \wurzel{7+4*\wurzel{2}}
[/mm]
Das ist doch nicht realistisch oder?
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das sind aber die Ergebnisse für die beiden Oberflächen der zwei Körper, das kannst du uns ganz fest glauben!!!!
wenn ich einen Vorschlag machen darf, lege heute die Mathematik beiseite, dein Kopf glüht, morgen kommt c) dran,
Steffi
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