Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Di 08.07.2014 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | der Punkt S(s1/s2/s3) mit S>0 ist die Spitze der Pyramide ABCDS mit dem Höhenfuß M. Das Volumen dieser Pyramide Beträgt 1372 VE
Bestimmen die die Koordinaten von S
in den vorherigen Aufgaben haben wir alle Punkte ausgerechnet A,B,M waren bereits gegeben A(0/-4/0) B(6/8/4) M(-3/4/5) C(-6/12/10) D(-12/0/6)
Außerdem wissen wir das [mm] |\overrightarrow{AM}|=|\overrightarrow{BM}| [/mm] und das [mm] \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BM} [/mm] sowie den Flächeninhalt des Dreieckt ABM = 49 |
Servus,
also da ich das Volumen habe, könnte ich den Betrag der [mm] \overline{MS} [/mm] ausrechnen.
Aber wie komme ich von dem Betrag auf den Punkt S ?
in meinen Aufzeichnungen ist man irgendwie über den "Normalen Vektor" gegangen mit dem Vektorprodukt.
Kann mir jemand weiter helfen ?
M.f.G.
benni
|
|
| |
|
Hallo,
> der Punkt S(s1/s2/s3) mit S>0 ist die Spitze der Pyramide
> ABCDS mit dem Höhenfuß M. Das Volumen dieser Pyramide
> Beträgt 1372 VE
>
> Bestimmen die die Koordinaten von S
> in den vorherigen Aufgaben haben wir alle Punkte
> ausgerechnet A,B,M waren bereits gegeben A(0/-4/0) B(6/8/4)
> M(-3/4/5) C(-6/12/10) D(-12/0/6)
> Außerdem wissen wir das
> [mm]|\overrightarrow{AM}|=|\overrightarrow{BM}|[/mm] und das
> [mm]\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BM}[/mm] sowie den
> Flächeninhalt des Dreieckt ABM = 49
Was ist jetzt da eigentlich Aufgabenstellung und was deine eigenen Erkenntnisse (die Angaben stimmen, also bitte nicht falsch verstehen!)?
> Servus,
>
> also da ich das Volumen habe, könnte ich den Betrag der
> [mm]\overline{MS}[/mm] ausrechnen.
Könntest du so machen, dazu brauchst du aber mehr als das was du da angeführt hast: nämlich die den Inhalt der Grundfläche der Pyramide.
>
> Aber wie komme ich von dem Betrag auf den Punkt S ?
Mit dem Normalenvektor, den man entsprechend mit einem Skalar multiplizieren muss, damit er die richtige Länge hat (nämlich [mm] \overline{MS}).
[/mm]
>
> in meinen Aufzeichnungen ist man irgendwie über den
> "Normalen Vektor" gegangen mit dem Vektorprodukt.
>
> Kann mir jemand weiter helfen ?
Das ist ein wenig dürftig, was du hier als Vorarbeit abgeliefert hast. Man muss zum wiederholten Male sagen, dass dieses Forum nicht dazu dient, fertige Lösungen abzugreifen, sondern es funktioniert im Dialog, und zu selbigem (das besagt schon der Name) gehören zwei Parteien.
Wenn du ein wenig über die vier Punkte A, B, C und D und die weiteren Angaben nachgedacht hast, dann wirst du mir Recht geben, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist und somit natürlich in einer Ebene liegt. Von dieser Ebene benötigst du den Normalenvektor (das ist ein Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht). Man kann ihn mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren einer Parameterdarstellung der Ebene berechnen, also
[mm] \vec{n}=\vec{r}_1\times\vec{r}_2
[/mm]
es geht jedoch auch anders, indem man einfach eine Paramterdarstellung der Ebene in die Koordinaten- bzw. Normalenform umformt und daraus einen Normalenvektor abliest.
Das hier zu besprechen macht aber nur Sinn, wenn du dir jetzt als erstes dein Schulbuch schnappst und den notwendigen Stoff erarbeitest. Danach versuchst du dich an einer Rechnung, stellst sie hier vor und dann können wir zielführend helfen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Di 08.07.2014 | | Autor: | b.reis |
Hallo,
> der Punkt S(s1/s2/s3) mit S>0 ist die Spitze der Pyramide
> ABCDS mit dem Höhenfuß M. Das Volumen dieser Pyramide
> Beträgt 1372 VE
>
> Bestimmen die die Koordinaten von S <---- Aufgabestellung
> in den vorherigen Aufgaben haben wir alle Punkte
> ausgerechnet A,B,M waren bereits gegeben A(0/-4/0) B(6/8/4)
> M(-3/4/5) C(-6/12/10) D(-12/0/6)
> Außerdem wissen wir das
> $ [mm] |\overrightarrow{AM}|=|\overrightarrow{BM}| [/mm] $ und das
> $ [mm] \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BM} [/mm] $ sowie den
> Flächeninhalt des Dreieckt ABM = 49
Was ist jetzt da eigentlich Aufgabenstellung und was deine eigenen Erkenntnisse (die Angaben stimmen, also bitte nicht falsch verstehen!)?
> Servus,
>
> also da ich das Volumen habe, könnte ich den Betrag der
> $ [mm] \overline{MS} [/mm] $ ausrechnen.
Könntest du so machen, dazu brauchst du aber mehr als das was du da angeführt hast: nämlich die den Inhalt der Grundfläche der Pyramide. Der Punkt M steht für Mittelpunkt des Quadrats, da die Stecke AB eine Seite des Quadrats ist und das Dreieck ABM ein 1/4 der Grundfläche. Alle Seiten sind Gleich da das Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig ist.
>
> Aber wie komme ich von dem Betrag auf den Punkt S ?
Mit dem Normalenvektor, den man entsprechend mit einem Skalar multiplizieren muss, damit er die richtige Länge hat (nämlich $ [mm] \overline{MS}). [/mm] $
>
> in meinen Aufzeichnungen ist man irgendwie über den
> "Normalen Vektor" gegangen mit dem Vektorprodukt.
>
> Kann mir jemand weiter helfen ?
Das ist ein wenig dürftig, Das ist eine lustige Bemerkung für jemanden der wahrscheinlich nichts anderes tut außer Mathe oder so. Aber für mich ist das online stellen einer Aufgabe der letzte Schritt und alles andere als ein Kinderspiel was du hier als Vorarbeit abgeliefert hast. Die Vorarbeit ist alles was ich nachvollziehen kann Man muss zum wiederholten Male sagen, dass dieses Forum nicht dazu dient, fertige Lösungen abzugreifen, sondern es funktioniert im Dialog, und zu selbigem (das besagt schon der Name) gehören zwei Parteien. Zum besseren Verständnis, muss ich sagen, dass ich 2 Geraden habe und ich keine Ahnung wie das Vektorprodukt und die 2 Vektoren mir einen Punkt geben können, das ist doch eine Normale, nachvollziehbare Frage. Und scheinbar weiß ich nicht an welcher Stelle ich diese Information in meinem Schulbuch bekomme, sonst wäre ich nicht hier.
Wenn du ein wenig über die vier Punkte A, B, C und D und die weiteren Angaben nachgedacht hast, dann wirst du mir Recht geben, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist und somit natürlich in einer Ebene liegt. Von dieser Ebene benötigst du den Normalenvektor (das ist ein Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht). Man kann ihn mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren einer Parameterdarstellung der Ebene berechnen, also
$ [mm] \vec{n}=\vec{r}_1\times\vec{r}_2 [/mm] $
es geht jedoch auch anders, indem man einfach eine Paramterdarstellung der Ebene in die Koordinaten- bzw. Normalenform umformt und daraus einen Normalenvektor abliest.
Das hier zu besprechen macht aber nur Sinn, wenn du dir jetzt als erstes dein Schulbuch schnappst und den notwendigen Stoff erarbeitest. Danach versuchst du dich an einer Rechnung, stellst sie hier vor und dann können wir zielführend helfen.
Gruß, Diophant
[mm] |\overrightarrow{MS}|=21
[/mm]
Da [mm] v=\bruch{1}{3}* [/mm] G*h [mm] h=\overrightarrow{MS}
[/mm]
V=1372
[mm] G=196=|\overrightarrow{AB}|^2 [/mm]
h=21
Berechnung des Normalen Vektors [mm] \overrightarrow{n}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{n}= \overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}\
[/mm]
[mm] \overrightarrow{n}=\vektor{3 \\ -8\\-5}\times\vektor{9 \\ 4\\-1}
[/mm]
[mm] =\vektor{28 \\ -42\\84}
[/mm]
Wie hängen der Normalvektor und der Betrag von h zusammen. Wie komm ich auf den Punkt S, der die Spitze des Vektors [mm] \overrightarrow{MS} [/mm] ist ?
M.f.G Benni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mi 09.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leider blicke ich nicht mehr durch die Wilde Zitiererei, daher mal kurz das Vorgehen.
Die Strecke MS ist die Höhe der Pyramide.
Daher solltest du folgende Rechnungen durchfürhen.
Falls du einige schon gemacht hast, ist ja alles gut.
- Zeige, dass die Punkte A, B, C und D in einer Ebene liegen, und zeige dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist
- Bestimme dann den Mittelpunkt des Quadrates.
- Dann bestimme den Inhalt der Grundfläche G der Pyramide, das ist die Fläche zwischen den Punkten A, B C und D
- Berechne dann einen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Grundebene
- Bestimme dann einen Normaleneinheitsvektor [mm] \vec{n}_{0}, [/mm] dazu dividiere jede Kompnenten des Normalenvektors durch die Länge dieses.
- Aus [mm] $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot [/mm] h$ folgt [mm] h=\frac{3V}{G}
[/mm]
damit bestimme also die Höhe h der Pyramide.
- Danach multipliziere den Normaleneinheitsvektor [mm] \vec{n}_{0} [/mm] mit eben dieser berechneten Höhe h.
- Danach bestimme beide möglichen Spitzen S mit
[mm] \vec{s}=\vec{m}+h\cdot\vec{n}_{0}
[/mm]
bzw
[mm] \vec{s}=\vec{m}-h\cdot\vec{n}_{0}
[/mm]
Marius
|
|
|
|
