Punktweise, Gleichmäßige konv. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Es sei n [mm] \in \IN, f_{n}: \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f_{n}(x) =\begin{cases} (x-n+1)(n+1-x), & \mbox{für} n-1 < x < n+1 \\ 0, & \mbox{für}x \le n-1 \vee x \ge n+1 \end{cases}
[/mm]
a) Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] untersuche man [mm] f_{n} [/mm] auf lokale und globale Extrema.
b) Man beweise das die Funktion punktweise konvergiert und man gebe die Grenzfunktion f an.
c) Man untersuche [mm] f_{n} [/mm] auf gleichmäßige konvergenz. |
Guten Tag,
komme bei der Aufgabe leider nicht weiter.
Zu a) habe die Ableitung gebildet. Die ist für n-1 < x < n+1
[mm] f_{n}'(x) [/mm] = 2(n-x). Also: [mm] f_{n}(x) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = n.
Die zweite Ableitung für n-1 < x < n+1 ist [mm] f_{n}(x)'' [/mm] = -2 < 0. Also ist bei x = n der globale Hochpunkt und für alle x [mm] \le [/mm] n-1 [mm] \vee [/mm] x [mm] \ge [/mm] n+1 ist [mm] f_{n}(x) [/mm] = 0 der lokale Tiefpunkt. Stimmt das so?
Zu b) hier habe ich das Problem das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = - [mm] \infty. [/mm] Das verwirrt mich total. Wie kann ich denn dann überhaupt eine Grenzfunktion bestimmen?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei n [mm]\in \IN, f_{n}: \IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] gegeben durch
>
> [mm]f_{n}(x) =\begin{cases} (x-n+1)(n+1-x), & \mbox{für} n-1 < x < n+1 \\ 0, & \mbox{für}x \le n-1 \vee x \ge n+1 \end{cases}[/mm]
>
> a) Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] untersuche man [mm]f_{n}[/mm] auf lokale und
> globale Extrema.
>
> b) Man beweise das die Funktion punktweise konvergiert und
> man gebe die Grenzfunktion f an.
>
> c) Man untersuche [mm]f_{n}[/mm] auf gleichmäßige konvergenz.
> Guten Tag,
>
> komme bei der Aufgabe leider nicht weiter.
>
> Zu a) habe die Ableitung gebildet. Die ist für n-1 < x <
> n+1
> [mm]f_{n}'(x)[/mm] = 2(n-x). Also: [mm]f_{n}(x)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = n.
> Die zweite Ableitung für n-1 < x < n+1 ist [mm]f_{n}(x)''[/mm] =
> -2 < 0. Also ist bei x = n der globale Hochpunkt und für
> alle x [mm]\le[/mm] n-1 [mm]\vee[/mm] x [mm]\ge[/mm] n+1 ist [mm]f_{n}(x)[/mm] = 0 der lokale
> Tiefpunkt. Stimmt das so?
Ja
>
> Zu b) hier habe ich das Problem das
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] = - [mm]\infty.[/mm]
Das stimmt nicht !
Das kannst Du doch schon an einer Skizze erkennen ! ("gleitender Höcker")
Nimm ein (festes) x [mm] \in \IR. [/mm] Dann gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: x [mm] \le [/mm] m-1
Für n [mm] \ge [/mm] m ist dann ebenfalls x [mm] \le [/mm] n-1 und somit gilt:
[mm] f_n(x)=0 [/mm] für jedes n [mm] \ge [/mm] m
FRED
> Das
> verwirrt mich total. Wie kann ich denn dann überhaupt eine
> Grenzfunktion bestimmen?
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ja, das ist mir dann eben auch noch aufgefallen.
Aber jetzt komme ich schon wieder nicht weiter. [mm] |-x^{2}+2nx-n^{2}+1|< \epsilon. [/mm] Habe für n = x mal eingesetzt da kam dann 1 raus. D.h ich muss n noch kleiner wählen...
Allgemein wollte ich Mal fragen... Wie geht man bei sowas am besten vor? Also man sucht ja ein [mm] n_{0} [/mm] so dass für alle [mm] n>n_{0}: |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < epsilon. Wobei [mm] n_{0} [/mm] bei punktweiser Konvergenz noch von dem x abhängt und bei gleichmäßiger nicht mehr.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das ist mir dann eben auch noch aufgefallen.
> Aber jetzt komme ich schon wieder nicht weiter.
> [mm]|-x^{2}+2nx-n^{2}+1|< \epsilon.[/mm] Habe für n = x mal
> eingesetzt da kam dann 1 raus. D.h ich muss n noch kleiner
> wählen...
Nein, das bedeutet: [mm] (f_n) [/mm] konvergiert nicht gleichmäßig auf [mm] \IR [/mm] !
FRED
> Allgemein wollte ich Mal fragen... Wie geht man bei sowas
> am besten vor? Also man sucht ja ein [mm]n_{0}[/mm] so dass für
> alle [mm]n>n_{0}: |f_{n}(x)[/mm] - f(x)| < epsilon. Wobei [mm]n_{0}[/mm] bei
> punktweiser Konvergenz noch von dem x abhängt und bei
> gleichmäßiger nicht mehr.
>
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ich dachte ich muss zunächst noch punktweise konvergenz nachweisen... Habe ich das durch die Bestimmung der Grenzfunktion schon getan?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hm ich dachte ich muss zunächst noch punktweise konvergenz
> nachweisen... Habe ich das durch die Bestimmung der
> Grenzfunktion schon getan?
Mann, Mann !
Wir wissen doch: zu x [mm] \in \IR [/mm] gibt es ein m=m(x) [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] f_n(x)=0 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] m.
Das hab ich Dir doch oben klein, klein vorgemacht.
Das bedeutet doch: [mm] f_n(x) \to [/mm] 0 für n [mm] \to\infty [/mm] !!!
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Entschuldigung. Ich stand aufm Schlauch und habe zugegebenermaßen deinen vorherigen Beitrag wohl nicht genau genug gelesen. Das kommt hoffe ich nicht noch mal vor. Vielen Dank für deine Hilfe.
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