Punktweise/Gleichmäßige Konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktionenreihe auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{nx²}{n³+x³} [/mm] x[0,1] |
Ich weiss leider überhaupt nicht, wie ich an diese Aufgabe ranzugehen habe. Kann mir vielliecht jemand den ersten Schritt mal sagen? bzw mit mir die aufgabe gemeinsam lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mi 07.05.2008 | | Autor: | wauwau |
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{nx²}{n³+x³}[/mm] x[0,1]
Punktweise konvergenz bedeutet, dass wenn für welche x konvergiert die Reihe
Du kannst natürlich [mm] x^{2}*\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
als konvergente Majorante verwenden
d.h die Summe ist für alle x punktweise konvergent
da für x=0 die Reihe sicher 0 ist und in allen anderen Fällen Positiv ist der Grenzwert sicherlich für jedes x verschieden und daher liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor.
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wie kommst du auf diese Abschätzung?
[mm]x^{2}*\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
1/n² verstehe ich,aber wieso nur x²
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 07.05.2008 | | Autor: | wauwau |
das kommt im Zähler jedes Summanden vor, daher kannst du das vor die Summe "herausheben"
und wenn du im Nenner des summanden das [mm] x^{3} [/mm] weglässt, dann wird der Nenner kleiner und somit der Summand größer!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Do 08.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Werner,
was Du schreibst ist leider falsch !
nach dem Majorantenkriterium von Weierstraß konvergiert die Reihe auf [0,1] gleichmaßig !
Fred
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